iloczyn dwóch wielomianów

[karka92]

Zapisz wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +2x ^{3} +5x ^{2} +4x+3}\) jako iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach całkowitych dodatnich.

[Fingon]

Może spróbuj wymnożyć \(\displaystyle{ (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f \in \mathbb{N}_+}\) i skorzystaj z tego, że wielomiany są równe jeśli wszystkie ich współczynniki są równe.
Inne podejście to znalezienie pierwiastków wielomianu i przedstawienie go w postaci iloczynowej, a następnie wymnożenie odpowiednich nawiasów.

EDIT: Pierwiastki są zespolone, więc pierwszy sposób wydaje się prostszy. Rozwiązanie to \(\displaystyle{ (x^2+x+1)(x^2+x+3)}\).

[karka92]

aha skorzystam z pierwszego dziekuje

[bakala12]

Można też zastosować trick:
\(\displaystyle{ x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+4x+3=x^{4}+x^{3}+x^{2}+4x^{2}+4x+4+x^{3}-1=x^{2}(x^{2}+x+1)+4(x^{2}+x+1)+(x-1)(x^{2}+x+1)=(x^{2}+x+1)(x^{2}+x+3)}\)

[Vax]

Można również pójść metodą Ferrariego W naszym przypadku szybko pójdzie:

\(\displaystyle{ x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x + 3 = 0}\)

\(\displaystyle{ x^4 + 2x^3 = -5x^2 - 4x - 3}\)

\(\displaystyle{ x^4 + 2x^3 + x^2 = -4x^2 - 4x - 3}\)

\(\displaystyle{ (x^2+x)^2 = -4x^2 - 4x - 3}\)

\(\displaystyle{ (x^2+x+\frac{y}{2})^2 = -4x^2 -4x - 3 + x^2y + xy + \frac{y^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ (x^2+x+\frac{y}{2})^2 = (y - 4)x^2 + (y - 4)x - 3 + \frac{y^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ (y - 4)^2 = (y^2 - 12)(y - 4)}\)

\(\displaystyle{ y^2 - 8y + 16 = y^3 - 4y^2 - 12y + 48}\)

\(\displaystyle{ y^3 - 5y^2 - 4y + 32 = 0}\)

Widzimy, że jednym z pierwiastków jest 4 \(\displaystyle{ y=4}\), wstawiamy do wcześniejszego równania:

\(\displaystyle{ (x^2 + x + \frac{y}{2})^2 = (y - 4)x^2 + (y - 4)x - 3 + \frac{y^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ (x^2 + x + 2)^2 = 1}\)

\(\displaystyle{ (x^2 + x + 2)^2 - 1^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ (x^2 + x + 3)(x^2 + x + 1)}\)

I mamy postać iloczynową

Pozdrawiam.

[miki999]

W naszym przypadku szybko pójdzie:

Szpaner ;]
Metodą Fingona jeszcze szybciej:
- przy \(\displaystyle{ x^4}\) stoi \(\displaystyle{ 1}\), więc za darmo mamy \(\displaystyle{ a=d=1}\)
- wyraz wolny \(\displaystyle{ =3}\), więc bez zmniejszania ogólności, możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ c=1,\ f=3}\)
- pozostają na 2 zmienne, które też bardzo łatwo wyznaczyć

i puf, mamy wynik bez żadnego odwoływania się do motoryzacji



Pozdrawiam.

[Vax]

ee tam Może jestem dziwny, ale jak mam dużo wolnego czasu to lubię rozwiązywać równania takimi dłuższymi metodami Jak się zrobi trochę przykładów tymi dłuższymi sposobami, to potem coraz rzadziej popełnia się jakieś głupie błędy

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

miki999, bez straty ogólności piszesz
no to weźmy równanie

\(\displaystyle{ x^4-3x^2+10x-20=0\\
\left(x^2-ax+b\right)\left(x^2+ax+c\right)=0\\
\left(x^2-ax+1\right)\left(x^2+ax-20\right)=0\\
x^{4}-\left(a^2+19\right)x^2+21ax-20}\)

Dostajemy dwa sprzeczne równania

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+19=3 \\ 21a=10 \end{cases}}\)

Jak chcesz równanie czwartego stopnia w postaci ogólnej rozwiązać
w ten sposób to musisz je sprowadzić najpierw do postaci

\(\displaystyle{ x^{4}+px^{2}+qx+r=0}\)

W przypadku ogólnym i tak nie obejdzie się bez równania trzeciego stopnia

Chyba że się mylę to wyprowadź mnie z błędu panie Bundy

Poza tym ta metoda którą przedstawił Fingon jest zbliżona do tej co przedstawił Vax
i w przypadku ogólnym nie jest ona prostsza a nawet nieco bardziej skomplikowana
bo trzeba sprowadzać do postaci

\(\displaystyle{ x^{4}+px^{2}+qx+r=0}\)

i wtedy

\(\displaystyle{ x^4+px^2+qx+r=\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2-ax+c\right)}\)

Po porównaniu współczynników dostajemy równanie szóstego stopnia
o niezerowych współczynnikach tylko przy parzystej potędze
Tak więc powyższy sposób nie jest prostszy od tego który zaprezentował Vax
Obydwa sposoby bazują na tym samym tj rozkładzie wielomianu na czynniki kwadratowe
(co zresztą jest treścią zadania)
tylko że do tego rozkładu dochodzimy w każdym ze sposobów nieco inaczej