Pierwiastek wielomianu. Twierdzenie Bezouta.

niezapisana_nuta · Post autor: **niezapisana_nuta** » 21 sie 2010, o 12:36

Witam!
Mam problem z następującym zadaniem:
Wykaż, że liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x), a następnie wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu (o ile istnieją), jeśli:

\(\displaystyle{ W(x) = x^{5} + 2x^{4} + 2x^{3} + 4x^{2} - 3x - 6}\) ; r = -2

Moje zmagania z zadaniem:

W(-2) = 0
W(-2) = -32 + 32 - 16 + 16 + 6 - 6
0 = 0

Powyższymi obliczeniami wykazałam, że liczba r jest pirwiastkiem wielomianu W(x).

Natępnie podzieliłam wielomian W(x) przez dwumian (x + 2), co dało mi wynik: \(\displaystyle{ x^{4} + 2x^{2} - 3}\)

Proszę o wskazówki do dalszego rozwiązania tego zadania.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 21 sie 2010, o 12:47

klasyczne podstawienie: \(\displaystyle{ t=x^2}\)

niezapisana_nuta · Post autor: **niezapisana_nuta** » 21 sie 2010, o 12:50

Inkwizytor pisze:klasyczne podstawienie: \(\displaystyle{ t=x^2}\)

co u Ciebie oznacza t ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 21 sie 2010, o 12:51

Tak zwana ,,zmienna pomocnicza".

Wstaw podane i dostaniesz wielomian drugiego stopnia.

niezapisana_nuta · Post autor: **niezapisana_nuta** » 21 sie 2010, o 13:04

Dobrze.

Stosując zmienną pomocniczą: \(\displaystyle{ t = x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ x^{4} + 2x ^{2} - 3 = t ^{2} + 2t - 3}\)

wyliczając z tego deltę
delta = 16

skoro delta jest większa od 0 to mamy dwa rozwiązania

\(\displaystyle{ x_{1} = (-b - \sqrt{delta}):2a}\) co daje wynik: -3
\(\displaystyle{ x_{1} = (-b + \sqrt{delta}):2a}\) co daje wynik: 1

W odpowiedzach są podane nstępujące wyniki: -1 oraz 1
1 jest ale jak dojść do tego -1?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 sie 2010, o 13:08

Wróć do podstawienia

niezapisana_nuta · Post autor: **niezapisana_nuta** » 21 sie 2010, o 13:13

miodzio1988 pisze:Wróć do podstawienia

którego podstawienia?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 21 sie 2010, o 13:18

\(\displaystyle{ t=x^2}\) ((t) znasz - nie każde obliczone ,,pasuje")

[edit] We wcześniejszym powinnaś mieć \(\displaystyle{ t_1=-3}\) ; \(\displaystyle{ t_2=1}\) a nie (x1); (x2).

niezapisana_nuta · Post autor: **niezapisana_nuta** » 21 sie 2010, o 13:24

powoli...

skoro \(\displaystyle{ t = x^{2}}\)

to podstawiam to t do: \(\displaystyle{ x ^{4} + 2x ^{2} - 3}\) zgadza się?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 sie 2010, o 13:26

Nie. \(\displaystyle{ t}\) Ci wyszło \(\displaystyle{ -3}\) Zatem:

\(\displaystyle{ -3= x^{2}}\)

Takie równanie ma rozwiazanie?

niezapisana_nuta · Post autor: **niezapisana_nuta** » 21 sie 2010, o 13:28

miodzio1988 pisze:Nie. \(\displaystyle{ t}\) Ci wyszło \(\displaystyle{ -3}\) Zatem:

\(\displaystyle{ -3= x^{2}}\)

Takie równanie ma rozwiazanie?

nie nie ma... taka ciemana nie jestem

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 sie 2010, o 13:29

Nie wątpię. Teraz z drugim pierwiastkiem zrób to samo

niezapisana_nuta · Post autor: **niezapisana_nuta** » 21 sie 2010, o 13:40

miodzio1988 pisze:Nie wątpię. Teraz z drugim pierwiastkiem zrób to samo

co mam zrobić z tym drugim pierwiastkiem...?

to, że \(\displaystyle{ t \neq -3}\) jest oczywiste

więc mysłąc (trochę) nie matematycznie wynikałaby, że \(\displaystyle{ x^{2} = 1 to x = 1 \vee x= -1}\)

o to chodziło?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 sie 2010, o 13:40

No nie.

\(\displaystyle{ 1=x ^{2}}\) to rozwiąż

niezapisana_nuta · Post autor: **niezapisana_nuta** » 21 sie 2010, o 13:47

miodzio1988 pisze:No nie.

\(\displaystyle{ 1=x ^{2}}\) to rozwiąż

\(\displaystyle{ x^{2} = 1}\) to \(\displaystyle{ x = -1 \vee x = 1}\)ponieważ \(\displaystyle{ (-1) ^{2} = 1 \wedge 1 ^{2} = 1}\)