Witam serdecznie. Posiadam taki oto wielomian 4 stopnia:
\(\displaystyle{ r^{4}+24r^{3}+218r^{2}+838r+1369=0}\)
Moim zadaniem jest znalezienie jego pierwiastków. Znam kilka metod, jednak wszystkie są bardzo prymitywne i czasochłonne. Ponadto, podany wielomian rzekomo posiada takie właśnie pierwiastki:
\(\displaystyle{ r = -6-i, -6+i, -6-i, -6+i}\)
Metody pozyskiwania pierwiastków zespolonych tym bardziej nie znam. I tu pojawia się moje zapytanie i prośba do Was, drodzy forumowicze. W jaki sposób uzyskać pierwiastki tego lub dowolnie innego wielomianu n-stopnia? Co z tymi zespolonymi? Jaką znacie najefektywniejszą metodę rozprawiania się z takimi wielomianami? Dodam, że ten wielomian uzyskałem bezpośrednio z DE 4 rzędu. Z góry dziękuję za pomoc.
(Temat zostawiam w funkcjach wielomianowych, ponieważ większość mojej prośby dotyczy samej metody obliczania pierwiastków, niekoniecznie zespolonych.)
Pierwiastki wielomianu n stopnia
- Quaerens
- Użytkownik
- Posty: 2489
- Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 439 razy
- Pomógł: 181 razy
Pierwiastki wielomianu n stopnia
Metoda Ferrariego na pewno pomoże. Czasochłonna, może trochę na początek Poszukaj na forum, ktoś już kiedyś przedstawił rozwiązanie wielomianu 4-go stopnia za pomocą owej metody.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Pierwiastki wielomianu n stopnia
\(\displaystyle{ r^{4}+24r^{3}+218r^{2}+838r+1369=0}\)
\(\displaystyle{ r^4+24r^3=-218r^2-838r-1369}\)
\(\displaystyle{ r^4+24r^3+144r^2=-74r^2-838r-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(r^2+12r \right)^2=-74r^2-838r-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(r^2+12r+ \frac{y}{2} \right)^2= \left(y-74 \right)r^2+ \left(12y-838 \right)r+ \frac{y^2}{4}-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(12y-838 \right) ^2= \left(y^2-5476 \right) \left(y-74 \right)}\)
Czy aby na pewno ma takie pierwiastki
A może źle przepisałeś współczynniki
Pierwiastek podanego równania trzeciego stopnia otrzymasz w dość skomplikowanej postaci
A może chodzi o takie równanie
\(\displaystyle{ r^{4}+24r^{3}+218r^{2}+888r+1369=0}\)
\(\displaystyle{ r^4+24r^3=-218r^2-888r-1369}\)
\(\displaystyle{ r^4+24r^3+144r^2=-74r^2-888r-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(r^2+12r \right)^2=-74r^2-888r-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(r^2+12r+ \frac{y}{2} \right)^2= \left(y-74 \right)r^2+ \left(12y-888 \right)r+ \frac{y^2}{4}-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(12y-888 \right) ^2= \left(y^2-5476 \right) \left(y-74 \right)}\)
Teraz pierwiastkiem równania trzeciego stopnia jest
(widać to od razu bo równanie to jest już częściowo rozłożone do postaci iloczynowej)
\(\displaystyle{ y=74}\)
Otrzymujesz równanie
\(\displaystyle{ \left(r^2+12y+37 \right)^2=0}\)
\(\displaystyle{ r^4+24r^3=-218r^2-838r-1369}\)
\(\displaystyle{ r^4+24r^3+144r^2=-74r^2-838r-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(r^2+12r \right)^2=-74r^2-838r-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(r^2+12r+ \frac{y}{2} \right)^2= \left(y-74 \right)r^2+ \left(12y-838 \right)r+ \frac{y^2}{4}-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(12y-838 \right) ^2= \left(y^2-5476 \right) \left(y-74 \right)}\)
Czy aby na pewno ma takie pierwiastki
A może źle przepisałeś współczynniki
Pierwiastek podanego równania trzeciego stopnia otrzymasz w dość skomplikowanej postaci
A może chodzi o takie równanie
\(\displaystyle{ r^{4}+24r^{3}+218r^{2}+888r+1369=0}\)
\(\displaystyle{ r^4+24r^3=-218r^2-888r-1369}\)
\(\displaystyle{ r^4+24r^3+144r^2=-74r^2-888r-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(r^2+12r \right)^2=-74r^2-888r-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(r^2+12r+ \frac{y}{2} \right)^2= \left(y-74 \right)r^2+ \left(12y-888 \right)r+ \frac{y^2}{4}-1369}\)
\(\displaystyle{ \left(12y-888 \right) ^2= \left(y^2-5476 \right) \left(y-74 \right)}\)
Teraz pierwiastkiem równania trzeciego stopnia jest
(widać to od razu bo równanie to jest już częściowo rozłożone do postaci iloczynowej)
\(\displaystyle{ y=74}\)
Otrzymujesz równanie
\(\displaystyle{ \left(r^2+12y+37 \right)^2=0}\)