Pierwiastki wielomianu n stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
jerzy358
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 15 sie 2010, o 19:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock

Pierwiastki wielomianu n stopnia

Post autor: jerzy358 »

Witam serdecznie. Posiadam taki oto wielomian 4 stopnia:

\(\displaystyle{ r^{4}+24r^{3}+218r^{2}+838r+1369=0}\)

Moim zadaniem jest znalezienie jego pierwiastków. Znam kilka metod, jednak wszystkie są bardzo prymitywne i czasochłonne. Ponadto, podany wielomian rzekomo posiada takie właśnie pierwiastki:

\(\displaystyle{ r = -6-i, -6+i, -6-i, -6+i}\)

Metody pozyskiwania pierwiastków zespolonych tym bardziej nie znam. I tu pojawia się moje zapytanie i prośba do Was, drodzy forumowicze. W jaki sposób uzyskać pierwiastki tego lub dowolnie innego wielomianu n-stopnia? Co z tymi zespolonymi? Jaką znacie najefektywniejszą metodę rozprawiania się z takimi wielomianami? Dodam, że ten wielomian uzyskałem bezpośrednio z DE 4 rzędu. Z góry dziękuję za pomoc.

(Temat zostawiam w funkcjach wielomianowych, ponieważ większość mojej prośby dotyczy samej metody obliczania pierwiastków, niekoniecznie zespolonych.)
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Pierwiastki wielomianu n stopnia

Post autor: Quaerens »

Metoda Ferrariego na pewno pomoże. Czasochłonna, może trochę na początek Poszukaj na forum, ktoś już kiedyś przedstawił rozwiązanie wielomianu 4-go stopnia za pomocą owej metody.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Pierwiastki wielomianu n stopnia

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ r^{4}+24r^{3}+218r^{2}+838r+1369=0}\)

\(\displaystyle{ r^4+24r^3=-218r^2-838r-1369}\)

\(\displaystyle{ r^4+24r^3+144r^2=-74r^2-838r-1369}\)

\(\displaystyle{ \left(r^2+12r \right)^2=-74r^2-838r-1369}\)

\(\displaystyle{ \left(r^2+12r+ \frac{y}{2} \right)^2= \left(y-74 \right)r^2+ \left(12y-838 \right)r+ \frac{y^2}{4}-1369}\)

\(\displaystyle{ \left(12y-838 \right) ^2= \left(y^2-5476 \right) \left(y-74 \right)}\)

Czy aby na pewno ma takie pierwiastki
A może źle przepisałeś współczynniki

Pierwiastek podanego równania trzeciego stopnia otrzymasz w dość skomplikowanej postaci

A może chodzi o takie równanie

\(\displaystyle{ r^{4}+24r^{3}+218r^{2}+888r+1369=0}\)

\(\displaystyle{ r^4+24r^3=-218r^2-888r-1369}\)

\(\displaystyle{ r^4+24r^3+144r^2=-74r^2-888r-1369}\)

\(\displaystyle{ \left(r^2+12r \right)^2=-74r^2-888r-1369}\)

\(\displaystyle{ \left(r^2+12r+ \frac{y}{2} \right)^2= \left(y-74 \right)r^2+ \left(12y-888 \right)r+ \frac{y^2}{4}-1369}\)

\(\displaystyle{ \left(12y-888 \right) ^2= \left(y^2-5476 \right) \left(y-74 \right)}\)

Teraz pierwiastkiem równania trzeciego stopnia jest
(widać to od razu bo równanie to jest już częściowo rozłożone do postaci iloczynowej)

\(\displaystyle{ y=74}\)

Otrzymujesz równanie

\(\displaystyle{ \left(r^2+12y+37 \right)^2=0}\)
ODPOWIEDZ