wyrażenie, równanie, nierówność, pierwiastki wielomianu

[krzych9292]

1.Wykonaj potęgowanie:
\(\displaystyle{ (a+b+1)^{2}}\)

2.Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ 3x^{3} + x^{2} +4x-4=0}\)

3.Znajdź pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) i określ ich krotność:
a) \(\displaystyle{ W(x)=(x+2) (x-4)^{2} (x-5)^{3}}\)
b) \(\displaystyle{ W(x)= x^{4} +6x ^{3} +9x ^{2}}\)
c) \(\displaystyle{ W(x)= (x+1)^{5} + (x+1)^{4}}\)

4.Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ x^{3} + 6x^{2} +11x+6>0}\)

[Mersenne]

Zad. 4

\(\displaystyle{ x^{3}+6x^{2}+11x+6>0}\)

\(\displaystyle{ x^{3}+5x^{2}+x^{2}+5x+6x+6>0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)>0}\)

\(\displaystyle{ (x+1)(x^{2}+5x+6)>0}\)

Dalej dasz sobie radę.

[justynian]

co do pozostałych to pierwiastkiem równania nazywamy liczbę dla której równanie jest spełnione

[waga]

Dam Ci wskazówki
1.Możesz wykorzystać wzór skróconego mnożenia na 3 składniki lub 2 składniki.
czyli\(\displaystyle{ (a+b+c)^2}\) lub \(\displaystyle{ (a+b)^2=}\)

3.a)każde wyrażenie w nawiasie przyrównujesz do 0 i rozwiązujesz jak zwykłe równanie liniowe.Krotność pierwiastków odczytujesz potęgę która stoi przy nawiasie danego wyrażenia.
b)wyłącz \(\displaystyle{ x^2}\) przed nawias.
c)tutaj również musisz pokombinować z nawiasami.

2.Musisz wykorzystać twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów.

[bakala12]

2. Dzielniki wyrazu wolnego to
\(\displaystyle{ p=\{ \pm 1;\pm2;\pm4\}}\)
Dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze to
\(\displaystyle{ q=\{\pm1;\pm3\}}\)
Mamy następujące możliwości
\(\displaystyle{ \frac{p}{q}= \pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm \frac{1}{3} ; \pm \frac{2}{3}; \pm \frac{4}{3}}\)

1. Wzór na potęgę sumy trzech składników znajdziesz np. w kompendium.

3. a) jest proste
b) \(\displaystyle{ x^{4}+6x^{3}+9x^{2}=x^{2}(x^{2}+6x+9)=x^{2}(x+1)^{2}}\)
c)\(\displaystyle{ (x+1)^{5}+(x+1)^{4}=(x+1)^{4}(x+1+1)=(x+1)^{4}(x+2)}\)

A tak na przyszłość korzystaj z opcji "szukaj", bo wszystkie zadania było i to niedawno

[krzych9292]

Dzięki za pomoc. Ten temat założyłem bo zaczynam powoli się przygotowywać do matury i postanowiłem rozwiązywać zadania ze zbioru Kiełbasy, ale na wszystkie zad. nie ma odp. no i ja jakby to powiedzieć jestem kiepskim matematykiem, więc dzięki z góry za pomoc w zadaniach które tu wrzucę.

1.Znajdź wszystkie takie pary liczb naturalnych, że ich największy wspólny dzielnik wynosi 6,
a ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 210.

2.Liczba naturalna ma dokładnie cztery dzielniki, a ich suma jest równa s. Znajdź tę liczbę, jeśli
a) s=56; -b) s=40.

3.Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n^{5} -n jest podzielna przez 30.

4.Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p^{2} - 1 jest liczbą podzielna przez 24.

5.Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n również ma tę własność.

[justynian]

1.\(\displaystyle{ NWD(a,b)*NWW(a,b)=ab}\)
2. liczba zawsze dzieli się przez 1 i samą siebie, ponadto jeśli ma jeszcze jakiś dzielnik k to dzieli się też przez \(\displaystyle{ \frac{n}{k}}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) to ta liczba
3. rozłóż na czynniki
4. każda liczba \(\displaystyle{ p}\) większa od \(\displaystyle{ 5}\) ma postać \(\displaystyle{ 6p+1}\) lub \(\displaystyle{ 6p+5}\)
5. po prostu to zapisz a zaraz coś zobaczysz

[bakala12]

Z 3 mogą być kłopoty więc
\(\displaystyle{ n^{5}-n=n(n^{4}-1)=n(n^{2}-1)(n^{2}+1)=n(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\)
To ma być podzielne przez 30. Łatwo zauważyć że (n-1)n(n+1) to iloczyn trzech liczb kolejnych naturalnych. Dzieli się on przez 2 i 3 czyli przez 6. Pozostaje udowodnić że dzieli się jeszcze przez 5. Jeżeli któraś z liczb (n-1),n,(n+1) dzieli się przez 5 to iloczyn dzieli się przez 30.
Załóżmy że żadna z liczb (n-1),n,(n+1) nie dzieli się przez 5. Wtedy dają one reszty z dzielenia przez 5 kolejno: 1,2,3 lub 2,3,4. n daję resztę 2 lub 3 wtedy rozpatrujemy 2 przypadki
n daje resztę 2 z dzielenia przez 5 wtedy
\(\displaystyle{ n=5k+2}\)
\(\displaystyle{ (5k+2)^{2}+1=25k^{2}+10k+5}\) co oczywiście jest podzielne przez 5
n daje resztę 3 z dzielenia przez 5 wtedy
\(\displaystyle{ n=5k+3}\)
\(\displaystyle{ (5k+3)^{2}+1=25k^{2}+15k+10}\) co oczywiście jest podzielne przez 5
Czyli iloczyn (n-1)n(n+1)(n^{2}+1)=n^{5}-n dzieli się przez 5 i 6 czyli dzieli się przez 30. c.k.d.

[kamil13151]

n daję resztę 2 lub 3 wtedy rozpatrujemy 2 przypadki

A jak daje 1 lub 4?

[Vax]

\(\displaystyle{ \begin{cases} n\equiv 1 (mod \ 5) \Rightarrow 5|n-1\\ n\equiv 4 \equiv -1(mod \ 5) \Rightarrow 5|n+1\end{cases}}\)

[kamil13151]

Jakoś prościej da się? Nie miałem tego (mod).

[Vax]

Chodzi o to, że jeżeli n daje resztę 0, 1 lub 4 przy dzieleniu przez 5, to któryś z czynników \(\displaystyle{ (n-1)\cdot n\cdot (n+1)}\) dzieli się przez 5, wówczas całe wyrażenie dzieli się przez 30, założyliśmy sobie, że żaden z powyższych czynników nie dzieli się przez 5, a taka sytuacja zajdzie wtedy i tylko wtedy, gdy n będzie dawał resztę 2 lub 3 przy dzieleniu przez 5.

Pozdrawiam.