Wątpliwości do zadań i pytania do twierdzeń

[konradnowy]

Witam

Pytanie 1
Mam takie równanie
\(\displaystyle{ 3x^{3}+ x^{2} +4x-4=0}\) więc rozłożyłem wyraz wolny. Siedziałem nad tym przykładem troszeczkę czasu więc się trochę wkurzyłem i zaglądnąłem do odp. a tam ku memu zaskoczeniu pierwiastkiem było \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Chciałbym zapytać jak można podstawiać "inaczej" żeby odnaleźć pierwiastki.(łatwo szybko i przyjemnie)

Pytanie 2
W zadaniu mam określić kilku krotność pierwiastka wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(x-4)^{2} (x-5)^{3}}\) nie mam pojęcia o co chodzi.

Pytanie 3
Pojęcie pierwiastka wielokrotnego wielomianu na czym polega "jak to się je" i poprosiłbym o łatwy przykład

Pozdrawiam

[sushi]

2). krotnosc pierwiastka to ile razy dany pierwiastek sie pojawia

\(\displaystyle{ (x+2)^5}\) mamy \(\displaystyle{ -2}\) i jego krotnośc to \(\displaystyle{ 5}\)

3). krotnosc, wielokrotnosc to masz wyrazy bliskoznaczne


1) masz jakas liczbe przy najwyzwszej potedze, to beda wychodzic ułamki, na to nic sie nie poradzi

[bakala12]

1. Dzielniki wyrazu wolnego to
\(\displaystyle{ p=\{ \pm 1;\pm2;\pm4\}}\)
Dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze to
\(\displaystyle{ q=\{\pm1;\pm3\}}\)
Mamy następujące możliwości
\(\displaystyle{ \frac{p}{q}= \pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm \frac{1}{3} ; \pm \frac{2}{3}; \pm \frac{4}{3}}\)

[pajong8888]

Jeżeli mamy wielomian \(\displaystyle{ a_n x^n+\ldots a_1x+a_0=0}\) to jedyne pierwiastki wymierne są postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q},}\) gdzie p jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a_0}\) a q jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a_n}\) Jedynymi możliwymi wymiernymi dzielnikami tego wielomianu w a) są więc \(\displaystyle{ 4;\frac{4}{3};2;\frac{2}{3};1;\frac{1}{3}}\) oraz liczby do nich przeciwne
b)-2 pierwiastek jednokrotny, 4 dwukrotny, 5 trójkrotny
c) Pierwiastek wielokrotny wielomianu to liczba rzeczywista (zespolona) \(\displaystyle{ a}\), w której wielomian przyjmuje miejsce zerowe oraz po podzieleniu tego wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) otrzymany wielomian ciągle ma w punkcie \(\displaystyle{ a}\) miejsce zerowe. W podpunkcie b) pierwiastkami wielokrotnymi są 4 i 5.

[ordyh]

Pierwiastki wymierne (o ile istnieją), nie rzeczywiste.

[bakala12]

Jeżeli mamy wielomian \(\displaystyle{ a_n x^n+\ldots a_1x+a_0=0}\) to jedyne pierwiastki rzeczywiste są postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q},}\)

Co ty nie powiesz? Weźmy wielomian \(\displaystyle{ x^{2}-2}\). Ma on dwa pierwiastki rzeczywiste, ale żaden z nich nie da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\). No chyba że uda ci się udowodnić że:
1.\(\displaystyle{ \sqrt{2} \in Q}\)
2.\(\displaystyle{ \sqrt{2}\notin R}\)