znajdź pozostałe miejsca zerowe

[qapsel]

lidzba 3 jest dwukrotnym miejscem zerowym wielomianu W określonego wzorem W(x) = \(\displaystyle{ x^{4} -3x ^{3}+ax ^{2} +bx-18}\). Znajdź pozostałe miejsca zerowe wielomianu. Jak to obliczyć?

[pyzol]

\(\displaystyle{ W(3)=0,W'(3)=0}\)

[qapsel]

jak to zrobiłeś i czy to jakaś podpowiedź?

[bakala12]

W(x) = \(\displaystyle{ x^{4} -3x ^{3}+ax+bx-18}\).

Na pewno? Idę o zakład że powinno być \(\displaystyle{ ax^{2}}\)

3 jest pierwiastkiem podwójnym więc wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-3)^{2}}\)
Podziel, a resztę przyrównaj do 0. Tak obliczysz a i b. Potem zapisujesz \(\displaystyle{ W(x)}\) w postaci iloczynowej i znajdujesz pozostałe pierwiastki.

[ordyh]

\(\displaystyle{ W(3)=0}\) i \(\displaystyle{ W'(3)=0}\) wynika z tego, że 3 jest pierwiastkiem 2-krotnym.

[bakala12]

Można to policzyć bez pochodnych:

3 jest pierwiastkiem podwójnym więc wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-3)^{2}}\)
Podziel, a resztę przyrównaj do 0. Tak obliczysz a i b. Potem zapisujesz \(\displaystyle{ W(x)}\) w postaci iloczynowej i znajdujesz pozostałe pierwiastki.

Po podzieleniu mamy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} b-27=6a+54 \\ 9a+81=18\end{cases}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-7 \\ b=39\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^{2}(x^{2}+3x+2)=(x-3)^{2}(x+1)(x+2)}\)
A stąd widać że pozostałe pierwiastki to -1 i -2

[pyzol]

Fajny to bylby wynik, gdyby bylo +18. Prawdopodobnie zle wpisales dane.
Jesli chodzi o inne alternatywy, to (wyliczam dla +18, nie chce mi sie wpisywac pierwiastkow):
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-6x+9)(x^2+cx+d)=x^4-3x^3+ax^2+bx+18}\)
Nie wyliczamy parametrow a i b, tylko c i d, przyrownujac wspolczynik przy \(\displaystyle{ x^3}\) oraz wyraz wolny.
\(\displaystyle{ 9d=18\\
d=2\\
-6+c=-3\\
c=3\\
W(x)=(x-3)^2(x^2+3x+2)}\)
Mozna tez rozlozyc w taki sposob:
\(\displaystyle{ (x^2-6x+9)(x-x_3)(x-x_4)}\)
Otrzymamy uklad rownan, nastepnie rownanie kwadratowe, ktore da nam rozwiazanie.

[Mariusz M]

pyzol, używając pochodnych możesz tylko zredukować krotność pierwiastków
a tutaj nie trzeba tego robić tutaj wystarczy podzielić albo przez

\(\displaystyle{ x^2-6x+9}\)

albo dwukrotnie Hornerem

następnie rozwiązać układ równań

[pyzol]

Nie no zrobilem to przeciez bez pochodnych i bez dzielenia, natomiast z pochodnymi tez to mozna zrobic. Wydaje mi sie ze rozwiazanie ktore napisalem powyzej, tzn:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-6x+9)(x^2+cx+d)=x^4-3x^3+ax^2+bx+18}\)
jest najszybsze.
Z pochodnymi tez moge to rozwiazac, zaraz sprobuje.

-- 7 sie 2010, o 14:24 --

No wiec jesli 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem W(x), to:
\(\displaystyle{ W(3)=0\\
W'(3)=0}\)
No to lecim:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^3+ax^2+bx+18\\
W'(x)=4x^3-9x^2+2ax+b\\
W(3)=27+6a+b=0\\
W'(3)=18+9a+3b=0}\)
Wynika z tego, ze:
\(\displaystyle{ a=-7\\
b=15,}\)
wiec
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^3-7x^2+15x+18}\)
Owszem nie musze uzywac pochodnych, nie musze tez dzielic, jak rozwiazalem wczesniej.
Wazne jest rozwiazanie, a droga...
Najlepiej by bylo, zeby byla najkrotsza.