Jak rozwiązać następującywielomian 4-tego stopnia ?

[StudentPG]

Witam. Wielomian z którym mam problem nie da się rozwiązać metodą "szukanie, który dzielnik wyrazu wolnego będzie pierwiastkiem rzeczywistym wielomianu". Będę wdzięczny jeśli ktoś mi pokaże jak inaczej można to zrobić.

\(\displaystyle{ x^{4}+3,23x^{3}-3,45x^{2}+25,65x+118,68=0}\)

[miodzio1988]

Numerycznie próbowałeś? Jakiś program odpal i zobacz jak te pierwiastki wyglądają. Po to się te programy tworzy.

[StudentPG]

Numerycznie próbowałeś? Jakiś program odpal i zobacz jak te pierwiastki wyglądają. Po to się te programy tworzy.

A jaki program byś proponował ? Metody numerycznej nie kojarze ?

[miodzio1988]

Metody numerycznej nie kojarze ?

Numerycznie tzn niech komputer liczy.

A jaki program byś proponował ?

Matlab , Octave, mathematcia , wolphram itd. No masa tego jest.

No i masa jest metod do liczenia zer wielomianu
Newtona, bisekcji, Richardsona itd.

[StudentPG]

Matlab , Octave, mathematcia , wolphram itd. No masa tego jest.

No i masa jest metod do liczenia zer wielomianu
Newtona, bisekcji, Richardsona itd.

Super, a czy byłbyś w stanie powiedzieć, co będzie najprostsze (najszybsze) ?

[miodzio1988]

Super, a czy byłbyś w stanie powiedzieć, co będzie najprostsze (najszybsze) ?

Co wybierzesz się sprawdzi. Ja osobiście polecam metodę Newtona . Naprawdę w necie tyle tego jest , że znajdziesz coś dla siebie. Implementacja też nie jest trudna ( sam pisałem takie programy, a jestem kiepski z informatyki )

[Mariusz M]

miodzio1988, Po co zaraz metody numeryczne gdyby to był wielomian piątego stopnia
to co innego

StudentPG, sprowadź równanie do postaci różnicy kwadratów


\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)

\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3=-a_{2}x^2-a_{1}x-a_{0}}\)

Aby sprowadzić lewą stronę równania do kwadratu zupełnego
dodajasz stronami odpowiedni wyraz
(zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia na kwadrat sumy)

\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+ \frac{a_{3}^{2}}{4}x^2 = \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} x^2-a_{1}x-a_{0}}\)

\(\displaystyle{ \left(x^2+ \frac{a_{3}}{2}x \right)^2= \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} x^2-a_{1}x-a_{0}}\)

\(\displaystyle{ \left(x^2+ \frac{a_{3}}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2= \left(y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right) x^2+ \left(\frac{a_{3}}{2}y-a_{1} \right) x+ \frac{y^2}{4} -a_{0}}\)

Aby prawa strona była kwadratem zupełnym jej wyróżnik musi być równy zero

\(\displaystyle{ \left( \frac{a_{3}}{2}y-a_{1}\right)^2= \left(y^2-4a_{0} \right) \left(y+\frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{a_{3}^2}{4}y^2-a_{3}a_{1}y+a_{1}^2=y^3+ \frac{a_{3}^2}{4}y^2-a_{2}y^2-4a_{0}y-a_{3}^2a_{0}+4a_{2}a_{0}}\)

\(\displaystyle{ y^3-a_{2}y^2+ \left(a_{3}a_{1}-4a_{0}\right)y+ \left(4a_{2}a_{0}-a_{3}^2a_{0}-a_{1}^2 \right) =0}\)

Gdy obie strony równania będą kwadratami zupełnymi korzystasz ze wzoru skróconego
mnożenia na różnicę kwadratów i dostajesz iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

\(\displaystyle{ \left(a^2-b^2 \right)= \left(a-b \right) \left(a+b \right)}\)


Jak rozwiązać równanie trzeciego stopnia ?

\(\displaystyle{ a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)

Stosujesz podstawienie

\(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)

Otrzymujesz równanie

\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)


Stosujesz podstawienie

\(\displaystyle{ y=u+v}\)

Otrzymujesz układ równań który łatwo sprowadzić do wzorów Viete'a
równania kwadratowego


Jest to najprostsza metoda rozwiązywania równań czwartego stopnia
Była ona też jako pierwsza opublikowana przez Cardano
Cardano dowiedział się od Niccolo Fontany jak rozwiązywać równania trzeciego
a jego "student" Lodovico Ferrari odkrył jak rozwiązywać równania czwartego stopnia
Niccolo Fontana nie chciał aby Cardano publikował tej metody i Cardano początkowo
dotrzymywał tej obietnicy i opublikował je dopiero gdy dowiedział się że Fontana nie był pierwszy
Spór Fontany z Cardano miał rozstrzygnąć mecz (podobny do tego który Fontana rozegrał z Fiorem)
jednak Fontana nie stawił się na mecz
Fontana stchórzył mimo iż miał szansę wygrać ponieważ jego metoda rozwiązywania równań
trzeciego stopnia nadawała się (po drobnych modyfikacjach) do rozwiązywania równań
czwartego stopnia. Jedyne ograniczenia to że niechętnie używano liczb ujemnych
a także dopiero co zaczęto używać liczb zespolonych

Oto kod programu w C++
Korzysta on z dwóch metod dokładnych

Ukryta treść:    

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <complex>
#include <conio.h>

using namespace std;

double eps=1e-12;

complex<double> horner(int,complex<double>[],complex<double>);

int linear(complex<double>[],complex<double>[]);
int quadratic(complex<double>[],complex<double>[]);
int cubic(complex<double>[],complex<double>[]);
int quartic01(complex<double>[],complex<double>[]);
int quartic02(complex<double>[],complex<double>[]);

int main(){
char ch;
int i,w,n;
complex<double> a[5],x[5];
do{
cout.precision(12);
cout<<"Rozwiazywanie rownan czwartego stopnia"<<endl;
cout<<"1. Metoda Niccolo Fontany "<<endl;
cout<<"2. Metoda Lodovico Ferrariego"<<endl;
cout<<endl;
cin>>w;
switch(w){
case 1:{
cout<<"Podaj wspolczynniki"<<endl;
for(i=4;i>=0;i--){
cout<<"a["<<i<<"]=";
cin>>a;
}
cout<<endl;
n=quartic01(a,x);
for(i=1;i<=n;i++)
cout<<"x["<<i<<"]="<<x<<endl;
cout<<endl;
break;
}
case 2:{
cout<<"Podaj wspolczynniki"<<endl;
for(i=4;i>=0;i--){
cout<<"a["<<i<<"]=";
cin>>a;
}
cout<<endl;
n=quartic02(a,x);
for(i=1;i<=n;i++)
cout<<"x["<<i<<"]="<<x<<endl;
cout<<endl;
break;
}
default : cout<<"Brak metody . Podaj liczbe od 1 do 2"<<endl;
}
ch=getch();
}
while(ch!=27);
return 0;
}

complex<double> horner(int n,complex<double> a[],complex<double> x){
int i;
complex<double> s=complex<double>(0.0,0.0);
for(i=n;i>=0;i--)
s=s*x+a;
return s;
}

int linear(complex<double> a[],complex<double> x[]){
int n=0;

if(a[1]!=complex<double>(0.0,0.0)){
x[1]=complex<double>(-a[0]/a[1]);
n=1;
}
return n;
}

int quadratic(complex<double> a[],complex<double> x[]){
int i,n;
complex<double> delta;

if(a[2]==complex<double>(0.0,0.0)) return linear(a,x);
else{

for(i=1;i<=2;i++)
x=complex<double>(-a[1]/(2.0*a[2]));

delta=pow(a[1],2)-4.0*a[2]*a[0];

x[1]-=complex<double>(sqrt(delta)/(2.0*a[2]));
x[2]+=complex<double>(sqrt(delta)/(2.0*a[2]));

n=2;
return n;
}
}

int cubic(complex<double> a[],complex<double> x[]){
int i,j,n;
complex<double> p,q;
complex<double> b[3],t[3],e[3];

if(a[3]==complex<double>(0.0,0.0)) return quadratic(a,x);
else{

for(i=0;i<3;i++)
e=exp(complex<double>(0.0,2.0*i*M_PI/3.0));

for(i=1;i<=3;i++)
x=complex<double>(-a[2]/(3.0*a[3]));

p=complex<double>((3.0*a[3]*a[1]-pow(a[2],2))/(9.0*pow(a[3],2)));
q=complex<double>((2.0*pow(a[2],3)-9.0*a[3]*a[2]*a[1]+27.0*pow(a[3],2)*a[0])/(54.0*pow(a[3],3)));

b[2]=complex<double>(1.0,0.0);
b[1]=2.0*q;
b[0]=-pow(p,3);

quadratic(b,t);

t[1]=pow(t[1],1.0/3.0);
t[2]=pow(t[2],1.0/3.0);

j=0;

while(abs(e[j/3]*t[1]*e[j%3]*t[2]+p)>=eps) j++;

t[1]*=e[j/3];
t[2]*=e[j%3];

x[1]+=(t[1]+t[2]);
x[2]+=(e[1]*t[1]+e[2]*t[2]);
x[3]+=(e[2]*t[1]+e[1]*t[2]);

n=3;
return n;
}
}

int quartic01(complex<double> a[],complex<double> x[]){
int i,n;
complex<double> p,q,r;
complex<double> b[4],t[4];

if(a[4]==complex<double>(0.0,0.0)) return cubic(a,x);
else{

for(i=1;i<=4;i++)
x=complex<double>(-a[3]/(4.0*a[4]));

p=complex<double>((8.0*a[4]*a[2]-3.0*pow(a[3],2))/(8.0*pow(a[4],2)));
q=complex<double>((pow(a[3],3)-4.0*a[4]*a[3]*a[2]+8.0*pow(a[4],2)*a[1])/(8.0*pow(a[4],3)));
r=complex<double>((16.0*a[4]*pow(a[3],2)*a[2]+256.0*pow(a[4],3)*a[0]-3.0*pow(a[3],4)-64.0*pow(a[4],2)*a[3]*a[1])/(256.0*pow(a[4],4)));


if(abs(q)<eps){

b[2]=complex<double>(1.0,0.0);
b[1]=p;
b[0]=r;

quadratic(b,t);

x[1]-=sqrt(t[1]);
x[2]+=sqrt(t[1]);
x[3]-=sqrt(t[2]);
x[4]+=sqrt(t[2]);

}
else{

b[3]=complex<double>(1.0,0.0);
b[2]=2.0*p;
b[1]=pow(p,2)-4.0*r;
b[0]=-pow(q,2);

cubic(b,t);

for(i=1;i<=3;i++)
t=sqrt(t[i]);

if(abs(t[1]*t[2]*t[3]+q)>eps) t[3]=-t[3];

x[1]+=0.5*(t[1]+t[2]+t[3]);
x[2]+=0.5*(t[1]-t[2]-t[3]);
x[3]+=0.5*(-t[1]+t[2]-t[3]);
x[4]+=0.5*(-t[1]-t[2]+t[3]);
}
n=4;
return n;
}
}

int quartic02(complex<double> a[],complex<double> x[]){
int i,n;
complex<double> p,q,r;
complex<double> ua[4],ux[4];
complex<double> b1[3],x1[3];
complex<double> b2[3],x2[3];

if(a[4]==complex<double>(0.0,0.0)) return cubic(a,x);
else{

p=complex<double>((8.0*a[4]*a[2]-3.0*pow(a[3],2))/(8.0*pow(a[4],2)));
q=complex<double>((pow(a[3],3)-4.0*a[4]*a[3]*a[2]+8.0*pow(a[4],2)*a[1])/(8.0*pow(a[4],3)));
r=complex<double>((16.0*a[4]*pow(a[3],2)*a[2]+256.0*pow(a[4],3)*a[0]-3.0*pow(a[3],4)-64.0*pow(a[4],2)*a[3]*a[1])/(256.0*pow(a[4],4)));

for(i=1;i<=4;i++)
x[i]=complex<double>(-a[3]/(4.0*a[4]));

ua[3]=complex<double>(1.0,0.0);
ua[2]=-p;
ua[1]=-4.0*r;
ua[0]=4.0*p*r-pow(q,2);

cubic(ua,ux);

if(abs(ux[1]-p)<eps){

b1[2]=complex<double>(1.0,0.0);
b1[1]=p;
b1[0]=r;

quadratic(b1,x1);

x[1]-=sqrt(x1[1]);
x[2]+=sqrt(x1[1]);
x[3]-=sqrt(x1[2]);
x[4]+=sqrt(x1[2]);

}
else{

b1[2]=complex<double>(1.0,0.0);
b1[1]=-sqrt(ux[1]-p);
b1[0]=complex<double>(ux[1]/2.0)+complex<double>(q*sqrt(ux[1]-p)/(2.0*(ux[1]-p)));

b2[2]=complex<double>(1.0,0.0);
b2[1]=sqrt(ux[1]-p);
b2[0]=complex<double>(ux[1]/2.0)-complex<double>(q*sqrt(ux[1]-p)/(2.0*(ux[1]-p)));

quadratic(b1,x1);
quadratic(b2,x2);

x[1]+=x1[1];
x[2]+=x1[2];
x[3]+=x2[1];
x[4]+=x2[2];

}

n=4;
return n;
}
}

[miodzio1988]

miodzio1988, Po co zaraz metody numeryczne gdyby to był wielomian piątego stopnia
to co innego

Po to, żeby nie robić masakrycznych rachunków. Bo wynik będzie dosyć specyficzny, nie?

[Majeskas]