Metoda Newtona a punkt przegięcia

[Borneq]

Mam metodę Newton do wyliczania punktu ekstremum:
\(\displaystyle{ x_{k+1}=x_{k}-\frac{f'(x_{k})}{f''(x_{k})}}\)
Testowałem ja na funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^{4}}\) ale jest bardzo wolno zbieżna, każdy krok mniejszy o czynnik 1.5. Spowodowane jest to punktem przegięcia w zerze.
W jaki sposób można sobie z tym poradzić?

[Inkwizytor]

Testowałem ja na funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^{4}}\) ale jest bardzo wolno zbieżna, każdy krok mniejszy o czynnik 1.5. Spowodowane jest to punktem przegięcia w zerze.

1. Od kiedy to punkt przegięcia pokrywa się z ekstremum?
2. Funkcja \(\displaystyle{ y=x^4}\) nie posiada punktów przegięcia
3. Testowałeś czyli zapewne implementowałeś w jakimś języku programowania. Może masz gdzieś błąd, bo rozumiem że robi się zawiecha(?)

[Borneq]

1. Od kiedy to punkt przegięcia pokrywa się z ekstremum?
2. Funkcja \(\displaystyle{ y=x^4}\) nie posiada punktów przegięcia
3. Testowałeś czyli zapewne implementowałeś w jakimś języku programowania. Może masz gdzieś błąd, bo rozumiem że robi się zawiecha(?)

Może źle się wyraziłem nazywając to punktem przegięcia, ale chodzi mi o zerowanie pochodnych.
\(\displaystyle{ x^{3}}\) ma pierwszą i druga pochodną zerową w zerze, \(\displaystyle{ x^{4}}\) ma również zerową trzecią pochodną i stąd problem. Punkt przegięcia jest wtedy gdy zerowa jest druga pochodna, a jak się nazywa przypadek zerowej trzeciej pochodnej? Program się nie zawiesza, wylicza prawidłowo ale zbieżność jest zamiast kwadratowej liniowa i to z bardzo małym współczynnikiem 1/1.5.
Start w punkcie x=1, potem kolejno
x=0.66666667
x=0.44444444
x=0.29629630
x=0.19753086
W każdym kroku jest 1.5 raza bliżej.
Skoro kroki układają się w szereg geometryczny to myślałem aby zamiast każdego kroku od razu skoczyć do granicy x:=x+krok/(1-mnoznik) ale to działa tylko dla tych funkcji wielomianowych gdzie mamy przybliżanie geometryczne (czyli dla \(\displaystyle{ y=x^4}\) błyskawicznie znajduje) a dla innych mnożnik raz jest taki a raz inny.

[Inkwizytor]

Nie jestem pewien na 100% (dawno nie używałem), ale mozliwe że przyda sie Tobie ekstrapolacja Richardsona

p.s. Zerowanie drugiej pochodnej jest warunkiem koniecznym istnienia punktów przegięcia, co nie oznacza że p.p. jest tam na pewno (to tylko tak gwoli wyjasnienia )

[Borneq]

Metoda Newtona dla optymalizacji szuka ekstremum czyli zerowania pochodnej. Jeśli mamy i drugą pochodną zerową z powodu punktu przegięcia to znaleziony punkt nie będzie ekstremum (ale może być gdy nie będzie to punkt przegięcia jak w \(\displaystyle{ x^{4}}\)). Należałoby w jakiś sposób poznać czy to ekstremum czy punkt przegięcia; potrzebna była by znajomość drugiej a może i trzeciej pochodnej.
Poszukam coś o ekstrapolacji Richardsona.

[Inkwizytor]

Jeśli mamy i drugą pochodną zerową z powodu punktu przegięcia to znaleziony punkt nie będzie ekstremum (ale może być gdy nie będzie to punkt przegięcia jak w \(\displaystyle{ x^{4}}\)). Należałoby w jakiś sposób poznać czy to ekstremum czy punkt przegięcia; potrzebna była by znajomość drugiej a może i trzeciej pochodnej.

Ależ sposób jest bardzo prosty Po sprawdzeniu warunku koniecznego istnienia ekstremum sprawdzamy warunek dostateczny. Podobnie rzecz się ma z p.p. A to czy pierwsza i druga pochodna (oraz ewentualnie dalsze) akurat się zerują w tym samym punkcie, nie ma żadnego znaczenia.

Po znalezieniu miejsc zerowych pierwszej pochodnej:
Ujmując najprościej w ekstremum następuje zmiana monotoniczności, czyli na szkicu/wykresie I pochodnej następuje przecięcie z osią OX (a nie odbicie) w rzeczonym \(\displaystyle{ x_0}\).

Metoda uproszczona:
Jeżeli mamy pewnośc że dla danego h>0 dla każdego \(\displaystyle{ x \in <x_0-h ; x_0+h>}\) funkcja istnieje i jest ciągła, różniczkowalna oraz nie ma innego ekstremum to w x_0 będzie ekstremum gdy \(\displaystyle{ f'(x_0-h) \cdot f'(x_0+h) <0}\) To tak pod kątem ewentualnej implementacji. Oczywiście ze względu na złosliwe przypadki kwestią kłopotliwą może się okazać dobieranie odpowiedniego h.

Analogicznie można postąpić z II pochodną i szukaniem p.p. tylko że tam interpretujemy to oczywiście jako zmianę wklęsłości-wypukłości wykresu funkcji.

Pozdrawiam