Niech \(\displaystyle{ F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\le 0\vee y\le 0\}, G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\ge 1\wedge y\ge 1\}}\). Wówczas nie istnieje wielomian \(\displaystyle{ P\in\mathbb{R}[X,Y]}\) taki, że \(\displaystyle{ P>0}\) na \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ P<0}\) na \(\displaystyle{ G}\).
Rozumowanie zaproponowane w podręczniku J.Bochnaka, M.Coste, M.-F. Roy Real Algebraic Geometry jest następujące:
Gdyby taki wielomian istniał, to wielomian \(\displaystyle{ P(X,tX)\in\mathbb{R}[X]}\) byłby stopnia parzystego dla \(\displaystyle{ t>0}\) i stopnia nieparzystego dla \(\displaystyle{ t<0}\) - a to jest niemożliwe.
Próbowałem pójść tym tropem myślenia, przedstawiłem wielomian w postaci \(\displaystyle{ P(x,y)=a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\ldots+a_1(x)y+a_0(x)}\) dla pewnych wielomianów \(\displaystyle{ a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}[X], a_n\ne 0, n\in\mathbb{N}}\). Wówczas dla ustalonego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) jest
\(\displaystyle{ P(x,tx)=t^na_n(x)x^n+t^{n-1}a_{n-1}(x)x^{n-1}+\ldots+ta_1(x)x+a_0(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).
Niestety z tej postaci nie potrafię rozstrzygnąć problemu, mógłbym prosić o pomoc, naprowadzenie na właściwą ścieżkę myślenia? Czekam na pomysły.