wartości wielomianu na zbiorach- problem w rozumieniu dowodu

[lukasz1804]

Mam problem ze zrozumieniem dowodu pewnego (dość elementarnego) faktu:

Niech \(\displaystyle{ F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\le 0\vee y\le 0\}, G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\ge 1\wedge y\ge 1\}}\). Wówczas nie istnieje wielomian \(\displaystyle{ P\in\mathbb{R}[X,Y]}\) taki, że \(\displaystyle{ P>0}\) na \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ P<0}\) na \(\displaystyle{ G}\).

Rozumowanie zaproponowane w podręczniku J.Bochnaka, M.Coste, M.-F. Roy Real Algebraic Geometry jest następujące:

Gdyby taki wielomian istniał, to wielomian \(\displaystyle{ P(X,tX)\in\mathbb{R}[X]}\) byłby stopnia parzystego dla \(\displaystyle{ t>0}\) i stopnia nieparzystego dla \(\displaystyle{ t<0}\) - a to jest niemożliwe.

Próbowałem pójść tym tropem myślenia, przedstawiłem wielomian w postaci \(\displaystyle{ P(x,y)=a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\ldots+a_1(x)y+a_0(x)}\) dla pewnych wielomianów \(\displaystyle{ a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}[X], a_n\ne 0, n\in\mathbb{N}}\). Wówczas dla ustalonego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) jest

\(\displaystyle{ P(x,tx)=t^na_n(x)x^n+t^{n-1}a_{n-1}(x)x^{n-1}+\ldots+ta_1(x)x+a_0(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).

Niestety z tej postaci nie potrafię rozstrzygnąć problemu, mógłbym prosić o pomoc, naprowadzenie na właściwą ścieżkę myślenia? Czekam na pomysły.

[daniel_03]

Zastawawiałem, się nad Twoim zadaniem i doszedłem do wniosku, że może nie brać postaci ogólnej wielomianu. Weźmy wielomian \(\displaystyle{ P(x,y)=xy}\), wtedy po podstawieniu za \(\displaystyle{ y=tx}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ P(x,tx)=tx^2}\) a ten wielomian jest stopnia parzystego dla każdego \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\). Nie jestem pewien czy moje rozumowanie jest poprawne.

[pyzol]

Ja tak troszke inaczej. Wielomian stopnia parzystego ma granice w nieskonczonosci:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}P(x)=\lim_{x\to-\infty}P(x)}\)
Natomiast nieparzystego z jednej strony ma nieskonczonosc, a z drugiej - nieskonczonosc.
t jest parametrem. Policz granice dla t>0 i dla t<0. I tak jak kolega wyzej nie jestem pewien poprawnosci.

[lukasz1804]

daniel_03, problem tkwi w tym, że wielomian \(\displaystyle{ P(x,y)=xy}\) nie zachowuje się odpowiednio na zbiorach \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\).

[pyzol]

Dla t<0:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}W(x)=\lim_{x\to \infty}P(x,tx)=-\infty}\), bo dla t<0:
\(\displaystyle{ P(x,tx)\in F}\)
Podobnie:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}W(x)=\lim_{x\to-\infty}P(x,tx)=-\infty}\).
Natomiast dla t>0 z jednej strony wskoczy do G.-- 22 lip 2010, o 14:16 --Oj mala poprawka, w powyzszych granicach powinno byc \(\displaystyle{ +\infty}\), bo P>0 na F.

[lukasz1804]

Przeanalizowałem Twój tok myślenia, pyzol. Jest ok. Kłopot wynikał z mej nieuwagi, powinno być w dowodzie na odwrót: przy \(\displaystyle{ t>0}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)=P(x,tx)}\) jest stopnia nieparzystego, a dla \(\displaystyle{ t<0}\) - \(\displaystyle{ W}\) jest stopnia parzystego.
(Ale nie w moim błędnym tłumaczeniu był cały problem, tylko w analizie dowodu.)

Jeszcze raz dziękuję za ciekawy pomysł.

[pyzol]

A ja tez nie doczytalem kilku rzeczy, pewnosci nie mialem, bo zbior G wydawal mi sie "troche okrojony" zaczalem sie zastanawiac dlaczego nie cala cwiartka bez osi.