Oblicz resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian u, nie wykonując dzielenia:
\(\displaystyle{ w(x) = x^{5} -x^{3} + x^{2} -1}\)
\(\displaystyle{ u(x) = (x-1)(x+1)(x+2)}\)
Przyda się twierdzenia Bezouta, tyle że nie wiem jak to wykorzystać.
Reszta z dzielenia
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Reszta z dzielenia
Można też rozłożyć wielomian \(\displaystyle{ w}\) na czynniki (niekoniecznie do postaci iloczynowej - to w tym przypadku niepotrzebne): \(\displaystyle{ w(x)=x^3(x^2-1)+(x^2-1)=(x^2-1)(x^3+1)=(x-1)(x+1)(x^3+1)}\).
Teraz widać, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ u}\) jest równa iloczynowi wielomianu \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)}\) i reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^3+1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x+2}\), tj. jest wielomianem postaci \(\displaystyle{ [(-2)^3+1](x-1)(x+1)=-7x^2+7}\).
bakala12, możesz wyjaśnić Twoje rozumowanie? Wydaje się, że nie jest ono całkiem poprawne - reszta z dzielenia, której szukamy musi być wielomianem stopnia drugiego, a nie iloczynem trzech reszt z dzielenia wielomianu przez dwumian (który de facto jest liczbą, czyli wielomianem stopnia zerowego).
Teraz widać, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ u}\) jest równa iloczynowi wielomianu \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)}\) i reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^3+1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x+2}\), tj. jest wielomianem postaci \(\displaystyle{ [(-2)^3+1](x-1)(x+1)=-7x^2+7}\).
bakala12, możesz wyjaśnić Twoje rozumowanie? Wydaje się, że nie jest ono całkiem poprawne - reszta z dzielenia, której szukamy musi być wielomianem stopnia drugiego, a nie iloczynem trzech reszt z dzielenia wielomianu przez dwumian (który de facto jest liczbą, czyli wielomianem stopnia zerowego).
- conseil
- Użytkownik
- Posty: 194
- Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 4 razy
Reszta z dzielenia
Wynik się zgadza, tylko nie rozumiem, jak ty to zrobiłeś.
\(\displaystyle{ w(x) = (x-1)(x+1)(x^{3} +1)}\)
Czyli jeżeli dzielimy, to zapisujemy go w takiej postaci:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x^{3} +1) : (x-1)(x+1)(x+2) + r}\)
Ty to skracasz?
\(\displaystyle{ (x^{3} +1) : (x+2) + r}\)
Dalej to już nie wiem jak...
Wielomian \(\displaystyle{ w}\) to:Teraz widać, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ u}\) jest równa iloczynowi wielomianu \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)}\) i reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^3+1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x+2}\), tj. jest wielomianem postaci
\(\displaystyle{ w(x) = (x-1)(x+1)(x^{3} +1)}\)
Czyli jeżeli dzielimy, to zapisujemy go w takiej postaci:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x^{3} +1) : (x-1)(x+1)(x+2) + r}\)
Ty to skracasz?
\(\displaystyle{ (x^{3} +1) : (x+2) + r}\)
Dalej to już nie wiem jak...
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Reszta z dzielenia
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{U(x)} = \frac{(x-1)(x+1)(x ^{3} +1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}= \frac{x ^{3}+1 }{x+2}}\), wystarczy wyznaczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ x ^{3}+1}\) przez \(\displaystyle{ x+2}\) i pomnożyć ją przez (x-1)(x+1)
A to można zrobić nie wykonując dzielenia na podstawie bezpośredniego wniosku z tw. Bezouta:
"Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-c wynosi W(c)"
\(\displaystyle{ (-2)^{3}+1=-7}\)
Czyli reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez U(x) wynosi:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1) \cdot (-7)=(x ^{2}-1) \cdot (-7)=-7x ^{2}+7}\)
Rozjaśniło się?
A to można zrobić nie wykonując dzielenia na podstawie bezpośredniego wniosku z tw. Bezouta:
"Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-c wynosi W(c)"
\(\displaystyle{ (-2)^{3}+1=-7}\)
Czyli reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez U(x) wynosi:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1) \cdot (-7)=(x ^{2}-1) \cdot (-7)=-7x ^{2}+7}\)
Rozjaśniło się?
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 27 lip 2010, o 03:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Reszta z dzielenia
\(\displaystyle{ R(x)= A\cdot x^2 + B\cdot x + C \\ \\
\begin{cases}A+B+C = R(1) = W(1) = 0\\
A-B+C = R(-1)=W(-1)=0\\
4\cdot A - 2\cdot B + C = R(-2)=W(-2)= -21\end{cases}}\)
Rozwiazujemy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases}B=0\\
A=-7\\
C=7 \end{cases}}\)
Odp: \(\displaystyle{ R(x)= -7\cdot x^2 + 7}\)
\begin{cases}A+B+C = R(1) = W(1) = 0\\
A-B+C = R(-1)=W(-1)=0\\
4\cdot A - 2\cdot B + C = R(-2)=W(-2)= -21\end{cases}}\)
Rozwiazujemy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases}B=0\\
A=-7\\
C=7 \end{cases}}\)
Odp: \(\displaystyle{ R(x)= -7\cdot x^2 + 7}\)
Ostatnio zmieniony 28 lip 2010, o 12:21 przez M Ciesielski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .