funkcja wypukła

[chmora]

Korzystając z definicji funkcji wypukłej mianowicie :

Definicja 1.1.1 Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f : (a, b) \to R}\) jest wypukła, jeśli dla dowolnych punktów \(\displaystyle{ x, y \in (a, b)}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ t \in [0, 1]}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ f\big(tx + (1-t)y\big) \le tf(x) + (1-t)f(y)}\).

Udowodnij ze \(\displaystyle{ f(x)= x^{3}}\) jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ (0, \infty)}\).

BARDZO PROSZĘ O POMOC

[silvaran]

Jak sobie to rozpiszesz i ładnie skrócisz i przekształcisz:
\(\displaystyle{ (t-1) t (x-y)^{2} (t x-t y+x+2 y) \le 0}\)

I teraz po krótkiej obserwacji wyciągnij dobre wnioski

[chmora]

Jak sobie to rozpiszesz i ładnie skrócisz i przekształcisz:
\(\displaystyle{ (t-1) t (x-y)^{2} (t x-t y+x+2 y) \le 0}\)

I teraz po krótkiej obserwacji wyciągnij dobre wnioski

moim zdaniem wnioski sa takie , ze z zalozenia \(\displaystyle{ (t-1)t < 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x-y)^{2} >0}\)- oczywiste, ale co w takim razie zrobic z tym \(\displaystyle{ t x-t y+x+2 y> 0}\) ???


mozna tak ?\(\displaystyle{ x(t+1)+y(2-t) > 0}\) bo to suma dwoch dodatnich liczb gdyz \(\displaystyle{ t+1>0 i 2-t>0}\) z zalozenia \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ x,y \in (0,+ \infty )}\)

[silvaran]

Dokładnie tak