\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=\frac{-a_{2}}{a_{3}}}\),
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{a_{1}}{a_{3}}}\),
\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=\frac{-a_{0}}{a_{3}}}\)
Niech \(\displaystyle{ f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}, \ x\in \mathbb{C}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) są wszystkimi pierwiastkami równania (2), to \(\displaystyle{ f(x)=a_{3}(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}\), dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{C}}\).
Stąd: \(\displaystyle{ f(x)=a_{3}x^{3}-a_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+a_{3}}\)\(\displaystyle{ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-a_{3}x_{1}x_{2}x_{3}, \ x\in \mathbb{C}}\).
Porównując współczynniki przy przy tych samych potęgach zmiennej x wielomianów (4) i (5) otrzymujemy wzory (3).
Niech \(\displaystyle{ f(x)=a_{3}(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}\) dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{C}}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) są wszystkimi zespolonymi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ f}\), z zachowaniem krotności. Dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{C}}\) mamy po uwzględnieniu wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ f(x)= a_{3}x^{3}-a_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+a_{3}}\)
\(\displaystyle{ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-a_{3}x_{1}x_{2}x_{3}= a_{3}x^{3}-a_{3}(\frac{-a_{2}}{a_{3}})x^{2}+a_{3}(\frac{a_{1}}{a_{3}})x-a_{3}(\frac{-a_{0}}{a_{3}})
= a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\).
Zatem \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) są wszystkimi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0, x\in C}\).
Ponoć druga implikacja jest źle bo nie można założyć postaci iloczynowej a trzeba to jakoś udowodnić!!! Jak to zrobić RATUNKU!!