wielomian - schemat hornera

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 22 cze 2010, o 12:45

niech \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) będą pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}+3x+5=0}\) o współczynnikach z ciała \(\displaystyle{ Z _{13}}\). W książce jest napisane że iterując schemat Hornera, znajdujemy pierwiastki metodą prób i tu jest rozpisana tabelka...ale jest ona bardzo zawiła i nie wiem co skąd i dlaczego jak należy postępować w tej sytuacji przy schemacie Hornera? jak wyznaczyć te pierwiastki?

jeżeli dla kogoś będzie to wskazówką to mogę tu zamieścić jak wygląda ta tabelka...

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 cze 2010, o 12:50

No najlepiej zamieść, bo trudno to wyjaśnić tak słowami bez żadnego rysunku

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 22 cze 2010, o 12:51

Schemat wynika z tożsamości:
\(\displaystyle{ a_{n}x^{n}+....+a_{0}=a_{0}+x(a_{1}+x(....x(a_{n-1}+xa_{n}))))))}\)
Wstaw sobie do wzorupo prawej stonie równości i licz.

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 22 cze 2010, o 12:51

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|cccc} \ldots & 1 & -1 & 3 & 5 \\ \hline 0 & 1 & -1 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 8 \\ -1 & 1 & -2 & 5 & 0 \\ \hline -1 & 1 & -3 & 8 & \mbox{ } \\ 2 & 1 & 0 & 5 & \mbox{ } \\ -2 & 1 & -4 & 0 & \mbox{ } \end{tabular}}\)

to jest ta tabelka...mam nadzieję że w miarę możliwości czytelna dla kogoś kto wie o co chodzi, inaczej nie dało się jej zapisać mam nadzieje że znajdzie się ktoś kto to rozumie
tylko że się trochę "rozjeżdża" ta tabelka :/ ale w każdej kolumnie jest po 7 liczb, tylko w pierwszej na samej górze jest puste pole no i w ostatniej puste są trzy ostatnie pola...nic z niej nie wiem, a wzór mi nie za bardzo pomógł, ale jeszcze po próbuję.

-- 22 cze 2010, o 12:03 --

nie mogę sobie poradzić z tą tabelka żeby ją napisać w tex ;/ a teraz nie da rady tego jakoś wytłumaczyć?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 cze 2010, o 13:05

Ok. Schemat postępowania jest następujący:
Pierwszą liczbę z góry zawsze przepisujemy w dół. Teraz mnożymy ją przez liczbę, która jest pierwsza z lewej i dodajemy drugą z góry (czyli przepisujemy 1 w dół, mnożymy przez 0 i dodajemy -1). Powtarzamy: znów mnożymy przez pierwszą z lewej i dodajemy następną z góry (czyli -1*0 + 3). I znów to samo. I znów. I znów. Czy już rozumiesz?:)

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 22 cze 2010, o 13:10

tak, ten schemat już rozumiem to jeszcze jedno, skąd się wzięły te liczby w kolumnie po prawej stronie, bo te w pierwszym rzędzie to są po prostu współczynniki naszego wielomianu, ale nie wiem skąd są te liczby w pierwszej kolumnie po lewej stronie

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 cze 2010, o 13:14

To są pierwiastki wielomianu.

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 22 cze 2010, o 13:15

w trakcie próby samodzielnego wypełniania tabelki pojawił mi się problem...przecież w pierwszej kolumnie po lewej stronie mam dwa razy liczbę -1...dlaczego w tych rzędach mimo to są różne liczby?-- 22 cze 2010, o 12:16 --a aby znaleźć te pierwiastki wielomianu to muszę sobie po prostu po kolei podstawiać za x liczby i sprawdzać dla której się wielomian "wyzeruje" ?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 cze 2010, o 13:18

Liczba -1 występuje 2 razy, ponieważ jest dwukrotnym pierwiastkiem; generalnie tak, chociaż w praktyce takie ślepe podstawianie może prowadzić do bardzo dużej ilości prób

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 22 cze 2010, o 13:20

już rozumiałam co należy zrobić przy liczeniu przy tej drugiej -1...tam po prostu jako ten pierwszy rząd w całej tabelce traktuję rząd nad kreską...już mis ie przypomina wszystko ze szkoły, ale z tego co mi sie wydaje to to można rozbić na kilka tabelek żeby było jaśniej i czytelniej?

no właśnie, więc skąd w tym przypadku wiadomo że pierwiastkami są akurat te liczby?

i dlaczego ta tabelka jest w połowie odkreślona i od miejsca w którym jest odkreślona jako liczby przez które mnożymy przez liczbę z lewej kolumny traktujemy rząd nad odkreśleniem?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 22 cze 2010, o 13:23

Tak, można sobie rozbić, chociaż dla mnie jest to bardziej czytelne gdy mam wszystko nad sobą
Skąd wiadomo? Czasem w zadaniu jest podany jeden z pierwiastków, czasem na podstawie pewnych przesłanek można stwierdzić jakie są te pierwiastki - różnie to bywa:)
Szczerze mówiąc nie wiem dlaczego jest odkreślona, może kaprys autora zadania. Nie widzę całej treści więc nie wiem:)

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 22 cze 2010, o 13:29

Na końcu wielomianu schematu powinno wyjść ci 0. Jeśli ci tak wyjdzie- to znak,że to będzie pierwiastek.

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 22 cze 2010, o 13:31

dodzia_88 pisze:
no właśnie, więc skąd w tym przypadku wiadomo że pierwiastkami są akurat te liczby?

Schemat Hornera nie umożliwia znalezienia pierwiastków, tylko rozkład wielomianu.

Równanie wielomianowe:

\(\displaystyle{ x^3-x^2+3x+5=0}\)

1. Szukamy pierwiastków wymiernych w oparciu o twierdzenie:

Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych posiada pierwiastek wymierny, to jest on ilorazem całkowitego dzielnika wyrazu wolnego i całkowitego dzielnika wyrazu przy najwyższej potędze.

W naszym przypadku:

\(\displaystyle{ p:\quad \pm 1, \pm 5}\)

\(\displaystyle{ q:\quad \pm 1}\)

Możliwe pierwiastki wymierne:

\(\displaystyle{ x_0= \frac{p}{q}: \quad \pm 1, \pm 5}\)

Teraz należy sprawdzić te możliwości z nadzieją, że któraś wyzeruje wielomian. Jeśli nie, oznacza to, że nie posiada on pierwiastków wymiernych.

Zeruje się dla x=-1.

2. Twierdzenie Bezout mówi nam, że jeżeli liczba p jest pierwiastkiem wielomianu, dzieli się on bez reszty przez dwumian (x-p)

3. Korzystając z powyższego twierdzenie możemy teraz wykorzystać schemat Hornera do tego, żeby podzielić wielomian przez dwumian (x+1), otrzymać w ten sposób trójmian kwadratowy i znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu.

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 22 cze 2010, o 13:32

no bo właśnie chodzi o to, że jak ją odkreślę to już mnie nie obchodzą liczby przez które mnożyłam wcześniej, no i nie wiem kiedy mam tak zrobić, skąd wiedzieć że od teraz mam mnożyć przez inne liczby

a w zadaniu nie ma nic wcześniej podanego odnośnie pierwiastków i ich wartości, wcześniej jest tylko podany układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x _{1}+x _{2}+x _{3}=1 \\x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}=8\\x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+x^{3}_{3}=3\end{array}}\)

w którym poszczególne równania są przedstawiane ze pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych i wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \sigma_{1}=1 \\ \sigma^{2}_{1}-2\sigma_{2}=8\\ \sigma^{3}_{1}-3\sigma_{1}\sigma_{2}+3\sigma_{3}=3\end{array}}\)

gdzie po wyliczeniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sigma_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{3}=8}\)

wtedy na mocy wzorów Viete'a mamy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) które są pierwiastkami wielomianu:
\(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}+3x+5=0}\) i tu pojawia się owy schemat Hornera, który usilnie próbujesz(próbujecie;) ) mi wytłumaczyć a ja zasypuję Cię (Was;) ) moimi licznymi wątpliwościami

-- 22 cze 2010, o 12:37 --

dobra, to teraz jeszcze jedna wątpliwość...po tabelce mam takie oto coś napisane: Z otrzymanej tabeli odczytujemy równość:
\(\displaystyle{ x^3-x^2+3x+5=(x+1)(x+2)(x-4)}\)

skąd to?

no i ponowię pytanie bo może ktoś inny będzie wiedział: Dlaczego ta tabelka jest w połowie odkreślona i od tego miejsca zaczynamy mnożenie przez inne liczby?

-- 22 cze 2010, o 12:48 --

chyba zagięłam wszystkich swoimi pytaniami

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 22 cze 2010, o 14:44

Mamy wielomian
1 -1 3 5
-1 -1 - 0
Na dole-hipotetyczny pierwiastek
Drugą liczbę od dołu otrzymujesz mnożąc pierwszą liczbę od góry z pierwiastkiem
Tzecią liczbę od dołu-mnożysz pierwiastek z drugą liczbą i dodajesz drugą liczbę z góry
...
n-tą liczbę z dołu-mnożysz pierwiastek z (n-1)-szą liczbą z dołu i dodajesz (n-1) liczbę z góry
robisz tak,aż dodasz ostatnią liczbę z góry. Ta ostatnia z dołu liczba to wartość wielomianu po wstawieniu hipotetycznego pierwiastka.
Pierwsza wątpliwość: Wszystko wynika z algorytmu dzielenia i tw Bezout.
Jak wiesz,że t jest pierwiastkiem wielomianu,to (x-t) dzieli ten wielomian.
Z tabelki masz podzielność przez (x+2) i (x+1) i po podzieleniu wielomianu,najpierw przez 1 wielomian,a potem przez drugi otrzymujesz (x-4).
Druga wątpliwość