Rozwiąż nierównośc a rozwiązanie przedstaw na osi liczbowej

[sylwa22]

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}-1\right)\left( \sqrt{3}+1\right)x \ge 4 \sqrt{3x} -10}\)
\(\displaystyle{ 2x \ge 4 \sqrt{3x} -10}\)
\(\displaystyle{ 2x-4 \sqrt{3x} \ge -10}\)

I nie wiem co dalej. Jak wyłączyc x ?Proszę o pomoc!!!

[Afish]

\(\displaystyle{ x(2-4 \sqrt{3} ) \ge -10}\)
Chyba że ten iks ma być pod pierwiastkiem, to wtedy musisz zrobić tak:
\(\displaystyle{ -4 \sqrt{3x} \ge -2x - 10}\)
I obustronnie do kwaratu

[sylwa22]

Iks jest pod piergwiastkiem i wygląda to tak:
\(\displaystyle{ -4 \sqrt{3x} \ge -2x-10}\)

Jak to będzie wyglądało po podniesieniu obustronnie do kwadratu ?

[Afish]

\(\displaystyle{ -4 \sqrt{3x} \ge -2x-10\\
4\sqrt{3x} \ge 2x + 10\\
4^2 * (3x) \ge (2x + 10)^2}\)

[sylwa22]

Ok dzięki, nie wiem tylko czy nie należy zmieni znak nierówności w drugą stronę?

[Majeskas]

Nie można sobie tak beztrosko podnosić do kwadratu, jak nie wiemy czy obie strony są dodatnie, ujemne, czy jakie.

\(\displaystyle{ 2x \ge 4 \sqrt{3x}-10}\)

\(\displaystyle{ D:x \in <0,+ \infty )}\)

Myślę, że najprościej będzie zrobić to tak:

\(\displaystyle{ t=\sqrt{3x} \wedge t \in <0,+ \infty )}\)

\(\displaystyle{ t^2=3x}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{3}t^2=2x}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{3}t^2\ge 4t-10}\)

Rozwiązać nierówność kwadratową, wziąć część wspólną z założeniem do t. Potem wrócić do x i będziemy mieli prostą nierówność pierwiastkową.

Pozdrawiam.

[Mistrz]

Według mnie można to podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ -4\sqrt{3x} \ge -2x -10 \\ 4\sqrt{3x} \le 2x + 10}\)
Obie strony tej nierówności są nieujemne dla dowolnego nieujemnego \(\displaystyle{ x}\), więc bez przeszkód podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 48x \le 4x^2 + 40x + 100 \\ 4x^2-8x+100\ge 0 \\ x^2-2x+25 \ge 0}\)
Lewa strona tej nierówności jest równa \(\displaystyle{ (x-1)^2+24 \ge 24 > 0}\)
co dowodzi, że wyjściowa nasza nierówność zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R_+} \cup \{0\}}\)

[sylwa22]

Czyli rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(\displaystyle{ \left(0, \infty \right]}\)
Proszę mnie poprawi jesli jest źle bo nie ardzo rozumiem tej końcowego rozwiązaniw!-- 18 cze 2010, o 17:58 --mam to narysowac na osi liczbowej i nie wiem jak! proszę o pomoc!!!

[Mistrz]

Tak, to jest właśnie od zera do nieskończoności, czyli \(\displaystyle{ left[ 0 ; infty
ight)}\)