Podać przykład wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
grrrrrr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 maja 2010, o 13:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Podać przykład wielomianu

Post autor: grrrrrr »

Zadaje na pierwszy rzut oka wydaje się być proste, a jednak nie mogę dojść do prawidłowego rozwiązania .

Podaj przykład funkcji wielomianowej \(\displaystyle{ P:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}\), która ma maksimum lokalne w punkcie −1, minimum lokalne w punkcie 1 oraz spełnia warunek
\(\displaystyle{ P(−1) < P(1)}\). (Napisz jawnym wzorem wielomian zadający taką funkcję.)
Ostatnio zmieniony 16 cze 2010, o 17:22 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 838
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

Podać przykład wielomianu

Post autor: pelas_91 »

Wskazówka: Treść zadania nie narzuca że mają to być jedyne maksima/minima lokalne.
Awatar użytkownika
Mistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 637
Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 135 razy

Podać przykład wielomianu

Post autor: Mistrz »

Spróbuj najpierw sobie naszkicować, jak ta funkcja będzie przebiegać.

Będzie miała maksimum w -1 i minimum w 1. Dalej, żeby to wartość w tamtym maksimum była mniejsza od minimum w 1 musisz mieć jeszcze przynajmniej 2 ekstrema w przedziale \(\displaystyle{ (-1;1)}\), powiedzmy niech będzie to na przykład minimum lokalne dla \(\displaystyle{ x=-\frac{2}{3}}\) i maksimum dla \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}}\).

Wówczas
\(\displaystyle{ P'(x)=(x+1)(x-1)(x-\frac{2}{3})(x+\frac{2}{3})=x^4-\frac{13}{9}x^2+\frac{4}{9}}\)
Wtedy nasza funkcja P(x) jest dowolną funkcją pierwotną z tego:
\(\displaystyle{ P(x) + C = \int P'(x) \mbox{d}x = \int (x^4-\frac{13}{9}x^2+\frac{4}{9}) \mbox{d}x =\frac{1}{5}x^5-\frac{13}{27}x^3+\frac{4}{9}x +C}\)

Pozostaje tylko sprawdzić, czy funkcja \(\displaystyle{ P(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{13}{27}x^3+\frac{4}{9}x}\) spełnia warunki zadania.
grrrrrr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 maja 2010, o 13:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Podać przykład wielomianu

Post autor: grrrrrr »

Super! Kombinowałam trochę podobnie z tym, że muszą jeszcze być jakieś dwa ekstrema w tym przedziale, tylko zamiast sobie konkretnie wybrać w jakich punktach, to próbowałam coś ogólnie wyliczać i jakieś straszne rzeczy mi wychodziły. Dziękuję bardzo .
ODPOWIEDZ