Matematyka.pl

\(\displaystyle{ x^3-7x+2=0}\)
jak to zrobić?

Na początek podstaw \(\displaystyle{ x=u+v}\)

Po tym podstawieniu powinieneś otrzymać wzory Viete'a równania kwadratowego
(właściwie trójkwadratowego)

Dzielniki wyrazu wolnego to 1,-1, 2, -2. Poszukaj, dla której wartości zeruje się wielomian, a następnie podziel go przez odpowiedni dwumian.

damianplflow,
Dzielniki nie zawsze zadziałają a te podstawienie zawsze sprowadzi równanie do
układu równań będącego wzorami Viete'a równania kwadratowego
Jeżeli wyróżnik równania kwadratowego będzie ujemny to należy skorzystać z
wzoru de Moivre i otrzymamy rozwiązania wyrażone funkcją trygonometryczną

To równanie nie ma rozwiązań wymiernych. Proponuję użyć wzorów stąd:



Szybko się rozwiązuje.

Majeskas, Podstawieniem też da radę

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-2 \\ \left(u+v \right) \left(3uv-7 \right)=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-2 \\uv= \frac{7}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-2 \\u^3v^3= \frac{343}{27} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ t^2+2t+ \frac{343}{27}=0}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{3} \left( \sqrt[3]{-27+6 i\sqrt{237} }+ \sqrt[3]{-27-6 i\sqrt{237} } \right)}\)

\(\displaystyle{ = \frac{2}{3} \sqrt{21}\cos{ \left( \frac{-\arctan{ \left( \frac{2 \sqrt{237} }{9} \right)+ \left(2k+1 \right)\pi }}{3} \right) }}\)

mariuszm pisze:damianplflow,
Dzielniki nie zawsze zadziałają a te podstawienie zawsze sprowadzi równanie do
układu równań będącego wzorami Viete'a równania kwadratowego
Jeżeli wyróżnik równania kwadratowego będzie ujemny to należy skorzystać z
wzoru de Moivre i otrzymamy rozwiązania wyrażone funkcją trygonometryczną

Jak wziąłem długopasa do dłoni to wyszło w praniu, że masz rację.

Pozdrawiam

Można też zastosować przekształcenie

\(\displaystyle{ y^2+xy= \frac{7}{3}}\)