Witam,
Mam takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}}\)
Jak znaleźć składniki rozwinięcia tego wielomianu gdzie x występuje w potędze o wykładniku całkowitym? Nie chcę rozpisywać tego wielomianu i po prostu szukać po kolei które wykładniki są całkowite:) Może jest jakiś sprytniejszy sposób?
Znajdź składniki rozwinięcia wielomianu...
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Znajdź składniki rozwinięcia wielomianu...
Nalepiej skorzystać z dwumianu Newtona
\(\displaystyle{ \large (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^k}\)
Czyli w tym wypadku
\(\displaystyle{ \large(x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{2}})^{10}=\sum_{k=0}^{10}{10 \choose k}x^{\frac{10-k}{3}}\cdot x^{-\frac{k}{2}}}\)
i teraz wystarczy się zastanowić dla jakich k
\(\displaystyle{ \large x^{\frac{10-k}{3}}\cdot x^{-\frac{k}{2}}}\)
jest równe \(\displaystyle{ x^q}\) gdzie q jest liczbą całkowitą
\(\displaystyle{ \large (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^k}\)
Czyli w tym wypadku
\(\displaystyle{ \large(x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{2}})^{10}=\sum_{k=0}^{10}{10 \choose k}x^{\frac{10-k}{3}}\cdot x^{-\frac{k}{2}}}\)
i teraz wystarczy się zastanowić dla jakich k
\(\displaystyle{ \large x^{\frac{10-k}{3}}\cdot x^{-\frac{k}{2}}}\)
jest równe \(\displaystyle{ x^q}\) gdzie q jest liczbą całkowitą