równanie wielomianowe 3 stropnia z parametrem

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 26 paź 2006, o 20:27

wyznacz takie wartości parametru a dla których równanie \(\displaystyle{ x^3-ax+2a-8 =0}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste?
W jaki sposób to rozwiązać

Tristan · Post autor: **Tristan** » 26 paź 2006, o 20:45

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ x^3 -ax+2a-8=0 \\ x^3 -8 -ax+2a=0 \\(x-2)(x^2+2x+4)-a(x-2)=0 \\ (x-2)(x^2 +2x+4-a)=0}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 26 paź 2006, o 20:53

hmm nie za bardzo widze jak rozłożyłeś na czynniki \(\displaystyle{ x^2-8}\) :p jakąś skomplikowaną metodą, mógłbyś mi to objaśnić?

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 26 paź 2006, o 20:55

\(\displaystyle{ (x-p)(x-q)(x-r)=x^{3}-ax+2a-8}\)

nie robiłem tego zadania, myslę jednak, że można z takiego przedstawienia wyciągnąc pewne wnioski

Tristana metoda jest oczywiście najlepsza, tylko nie odświeżyłem strony

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 26 paź 2006, o 21:01

Calasilyar, tylko jest problem chcesz przyrównywać współczynniki tak? to ja tutaj widze 3 równania z 4 niewiadomymi i jest mały problem jak dla mnie.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 26 paź 2006, o 21:08

Pomyliła mi się dwójka z trójką, już poprawiłem

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 26 paź 2006, o 21:11

a sorki już widzę w twoim przekształceniu wzór skróconego mnożenia ale w takim razie jak dalej męczyć się z tym zadaniem?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 26 paź 2006, o 21:14

Jak to jak? Jeden pierwiastek rzeczywisty już mamy - jest nim x=2. Zostaje nam równanie \(\displaystyle{ x^2 +2x+4-a=0}\). Musi mięc więc ono dwa pierwiastki, czyli delta>0. No i \(\displaystyle{ 2^2+2 \cdot 2 +4-a \neq 0}\). Ostatni warunek jest taki dlatego, że już dwójkę jako pierwiastek mamy, nie chcemy więc by była ona pierwastkiem tego równania kwadratowego. Oczywiście wszystko znów zależy od interpretacji treści zadania ( 3 pierwiastki => 3 rózne pierwiastki, itd.).

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 26 paź 2006, o 21:14

a chyba już wiem:) wystarczy rozwiązać

czyli w pierwszym nawiasie nie mamy żadnego pierwiastka, czyli tylko z drugiego delta>0 jak mi się dobrze zdaje.

[ Dodano: 26 Październik 2006, 22:16 ]
Edit : po krótkim zastanowieniu zrozumiałem, ale zapomniałęm odświeżyć strony, więc sorry że nie usunąłem powyższego posta.

[ Dodano: 26 Październik 2006, 22:17 ]
a metodą Calasilyar, da się także to rozwiązać? bo chyba będzie mały problem ale chciałbym się upewnić.