wielomiany symetryczne i wzory viete'a

[dodzia_88]

W ciele \(\displaystyle{ Z_{13}}\) rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x _{1}+x _{2}+x _{3}=1 \\x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}=8\\x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+x^{3}_{3}=3\end{array}}\)


Rozwiązanie:
Każdy wielomian symetryczny da sie przedstawić przy pomocy wielomianów symetrycznych podstawowych zatem u nas da się lewe strony równań zapisać przy pomocy \(\displaystyle{ \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}}\).

Oznaczmy \(\displaystyle{ \sigma'_{k}=\sigma_{k}(x _{1},x _{2},x _{3})}\) dla \(\displaystyle{ k \in (1,2,3)}\)

Ponieważ w pierścieniu \(\displaystyle{ Z_{13}}\) zachodzą równości:

\(\displaystyle{ x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}=\sigma^{2}_{1}-2\sigma_{2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+x^{3}_{3}=\sigma^{3}_{1}-3\sigma_{1}\sigma_{2}+3\sigma_{3}}\)
możemy nasz układ zapisać (w poniższym układzie wszystkie sigmy powinny być ze znaczkiem " ' " ale jak go wstawiałam to wszystko się rozjechało dlatego usunęłam go i wstawiłam to wyjaśnienie):

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \sigma_{1}=1 \\ \sigma^{2}_{1}-2\sigma_{2}=8\\ \sigma^{3}_{1}-3\sigma_{1}\sigma_{2}+3\sigma_{3}=3\end{array}}\)

Po rozwiązaniu układu mamy:
\(\displaystyle{ \sigma'_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \sigma'_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ \sigma'_{3}=8}\)


I TERAZ ZACZYNAJĄ SIĘ SCHODY:

Zgodnie ze wzorami Viete'a liczy \(\displaystyle{ x _{1},x _{2},x _{3}}\) są pierwiastkami wielomianu
\(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}+3x+5=0}\) o współczynnikach z ciała \(\displaystyle{ Z_{13}}\) (skorzystaliśmy tu z równości -8=5 w \(\displaystyle{ Z_{13}}\))

jak powstał wielomian\(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}+3x+5=0}\) i dlaczego z takiej równości (-8=5)skorzystaliśmy?

[Mariusz M]

Przykład ten jest rozwiązany w Algebra abstrakcyjna w zadaniach Rutkowskiego

Wielomian powstał ze wzorów Viete