problem z nierownosciami

kkrzyy · Post autor: **kkrzyy** » 26 paź 2006, o 10:55

witam, mam problem z takimi oto zadankami:
1) √(x-2) + x ≤ 3
2)√(x�-4) ≤ x+3
3) √(4-x�)-x ≤ 1
Z gory dzieki za pomoc

doti_w · Post autor: **doti_w** » 26 paź 2006, o 12:11

Przedstawie rozwiązanie tylko zadania 1, bo pozostałe rozwiązuje się w sposób analogiczny.
Równianie można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ \sqrt{x-2}\leq-x+3}\)

Należy w tym miejscu założyć dziedzinę, gdyż wyrażenie pod pierwiastkiem nie może być ujemne. Zatem: x≥2.

No to przystępujemy do rozwiązania. Skoro już określiliśmy dziedzinę to możemy podnieść obustronnie do kwadratu, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x-2\leq x^{2}-6x+9}\)

Przenosimy wszystko na lewą stronę równiania
\(\displaystyle{ x-2-x^{2}+6x-9\leq0}\)

Mnożymy przez -1 pozbywając się znaku - przy najwyższej potędze
\(\displaystyle{ x^{2}-7x+11\geq0}\)

Wyznaczamy Δ równiania kwadratowego
\(\displaystyle{ \Delta=49-44=5}\)

Zatem pierwiastki tej nierówności kwadratowej to:
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{7-\sqrt{5}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}= \frac{7+\sqrt{5}}{2}}\)

Teraz należy sobie wykreślić poglądowy rysunek czyli parabolę z ramionami skierowanymi w górę (bo \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest dodatni) przecinającą oś x w dwóch miejscach i opisać je jako \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\). Jeśli zawierają się w dziedzinie (w tym przypadku tak \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) >2) to wypisujemy rozwiązanie. Tu będą to wszystkie punkty leżące powyżej osi x (bo taki znak mamy w równaniu - ma być większe lub równe 0).

Zatem rozwiązaniem nierówności są 2 przedziały liczbowe:
\(\displaystyle{ x\in (-\infty,\frac{7-\sqrt{5}}{2}> \cup }\)

greey10 · Post autor: **greey10** » 26 paź 2006, o 12:14

1)
najpierw warunek \(\displaystyle{ x>2}\) a potem podnosisz stronami do kwadratu i otrzymujesz
\(\displaystyle{ x-2\leq{(3-x)^{2}}\) i to rozwiazujesz to juz chyba nie bedzie dla Ciebie problemem ogolnie w rozwiazywaniu takich nierownosci musisz pamietac ze wartos pod pierwiastiek musi byc wieksza lub rowna zeru stawiasz warunek i rozwiazujesz :>

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 26 paź 2006, o 12:45

\(\displaystyle{ g(t) = t^2}\) nie jest monotoniczna w calej dziedzinie.

greey10 · Post autor: **greey10** » 26 paź 2006, o 19:13

a co jest u ciebie tym \(\displaystyle{ g(t)=t^{2}}\) ej bo nie dokonca zalapalem jakis blad zrobilem w moim rozumowaniu ;/?

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 26 paź 2006, o 20:53

Hm... Przeciez podnosisz do kwadratu stronami, nieprawdaz?

Nie powiedziales nic o znaku prawej strony nierownosci.

kkrzyy · Post autor: **kkrzyy** » 27 paź 2006, o 00:32

Ok, dzieki za pomoc, ale nie rozumiem np jakie musza byc spelnione warunki zeby podniesc obie strony do kwadratu. Czy rozwiazaniem pierwszej nierownosci nie jest czasami przedzial od 2 do (7-√5)/2 skoro x ≥ 2?

[ Dodano: 27 Październik 2006, 00:33 ]
Przepraszam, chodzilo mi o przedzial od 2 do (7+√5)/2

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 27 paź 2006, o 00:39

kkrzyy pisze:ale nie rozumiem np jakie musza byc spelnione warunki zeby podniesc obie strony do kwadratu

obie strony muszą byc dodatnie - gdyby tak nie było, to byśmy mieli
\(\displaystyle{ -2}\)

doti_w · Post autor: **doti_w** » 27 paź 2006, o 18:47

Calasilyar masz całkowtią rację:)

Zatem otrzymujemy dla x dziedzinę .
Moim zdaniem rozwiązanie nierówności po uwzględnieniu dziedziny to:
. Pierwiastek z "+" jest już poza dziedziną (z prawej strony równania wynika że x≤3).