Rozkład wielomianu na czynniki

[oszust001]

Jak rozłożyć wielomian \(\displaystyle{ x^{6}+27}\) albo \(\displaystyle{ x^{6}-x^{3}+1}\)

[Justka]

pierwszy ze wzoru \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\)

[Mistrz]

Drugiego się nie da (w liczbach rzeczywistych).

[oszust001]

A jak będzie w zespolonych?

[Mistrz]

Rozważmy, jakie liczby spełniają równanie
\(\displaystyle{ x^6-x^3+1=0}\)

Podstawmy \(\displaystyle{ t=x^3}\)
\(\displaystyle{ t^2-t+1=0 \\ \Delta=1-4=-3=(\sqrt{3}i)^2 \\
x^3=t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} \ \vee \ x^3=t=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}}\)

Przekształcamy do postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3} \ \wedge \ \frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3}}\)
zatem
\(\displaystyle{ x^3=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=e^{\frac{1}{3}\pi i} \ \vee \ x^3=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}=e^{-\frac{1}{3}\pi i}}\)

Dla pierwszego przypadku mamy
\(\displaystyle{ x=e^{(\frac{1}{9}+\frac{2k}{3})\pi i}}\)
a dla drugiego
\(\displaystyle{ x=e^{(-\frac{1}{9}+\frac{2k}{3})\pi i}}\)
dla każdego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\)

Oznacza to, że
\(\displaystyle{ x^6-x^3+1=(x-e^{\frac{1}{9}\pi i})(x-e^{\frac{7}{9}\pi i})(x-e^{\frac{13}{9}\pi i})(x-e^{-\frac{1}{9}\pi i})(x-e^{\frac{5}{9}\pi i})(x-e^{\frac{11}{9}\pi i})}\)