Parametry wielomianu, rozwiązanie równań, reszta z dzielenia

[gerrardeco]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań, które pomogą mi zdać na dopa z matmy.

1. Dane są wielomiany:
\(\displaystyle{ G(x)= ( ax ^{2}+ x + 3) (x + b)}\)
\(\displaystyle{ H(x)= 3x ^{3}+7x ^{2}+ 5x + 6}\)
a) wyznacz wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), dla których wielomiany \(\displaystyle{ g}\) i\(\displaystyle{ h}\) są równe
b) nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ H(x)}\) przez każdy z dwumianów \(\displaystyle{ (x+1)(x-2)}\)

2. Znajdź wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) 3 stopnia, który ma pierwiastek dwukrotny \(\displaystyle{ -3}\) oraz pierwiastek pojedynczy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przy czym \(\displaystyle{ W(0)=10}\).

3. Rozwiąż równania
\(\displaystyle{ x ^{3}-3x ^{2} + 4x - 12 = 0\
\(\displaystyle{ 4x ^{2}-3x ^{3} = 2x + 5x}\)}\)

[?ntegral]

A może by tak odrobina wkładu własnego? Hm?

1.
a) \(\displaystyle{ G(x)=H(x)}\)
Wymnożyć i uporządkować wyrazy wielomianu \(\displaystyle{ G(x)}\). Następnie skorzystać z twierdzenia, że wielomiany są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki stojące przy odpowiednich potęgach zmiennej \(\displaystyle{ x}\) są sobie równe.

b) \(\displaystyle{ H(-1)}\) i \(\displaystyle{ H(2)}\)

2. \(\displaystyle{ W(x)=-\frac{20}{9}(x+3)^2(x-\frac{1}{2})}\)

3.
Równanie I: \(\displaystyle{ x=3}\)
Równanie II: \(\displaystyle{ x=0}\)

[gerrardeco]

A można prosić o kroki jak rozwiązywać zadanie 1b,2 i 3?

Będę wdzięczny!

Ja humanista, rzadko na matematyce bywam zazwyczaj biorę się do jakiejkolwiek nauki jak mam nóż na gardle- nie wiem co będzie z moją maturą za rok.

[miki999]

1b

Obliczyć (podstawić) to co napisał İntegral.

2

Tu nie ma czego liczyć. Masz podane miejsca zerowe, trzeba jedynie dobrać współczynnik przed nawiasami, ale to się bierze z warunku na \(\displaystyle{ W(0)}\).


3.
a) z pierwszych dwóch wyrazów wyłączyć \(\displaystyle{ x^2}\), z pozostałych \(\displaystyle{ 4}\). A następnie powtarzający się dwumian przed całe wyrażenie. Zastanowić się dla jakich iksów jest on równy \(\displaystyle{ 0}\).
b) To co po prawej stronie zsumować, wszystko na lewą stronę, wyłączyć iks przed nawias, spr., że wyrażenie w nawiasie nie ma miejsc zerowych.



Pozdrawiam.

[?ntegral]

To trzeba jednak częściej bywać na matematyce. Tłumaczenie, że jest się humanistą, to żadne tłumaczenie. Jak ktoś jest stricte matematykiem czy fizykiem nie oznacza od razu, że może olewać język polski czy historię. Chodzenie do liceum polega właśnie na tym, żeby zdobyć ogólne wykształcenie i wiedzę z każdej dziedziny życia. Swoją drogą nasz kraj i tak jest potężną fabryką pseudohumanistów, którzy nie mają się gdzie podziać po skończeniu studiów.

1.

a) \(\displaystyle{ G(x)=(ax^2+x+3)(x+b)=ax^3+(1+ab)x^2+(3+b)x+3b}\)

\(\displaystyle{ H(x)= 3x ^{3}+7x ^{2}+ 5x + 6}\)

Porównując współczynniki otrzymujemy:

\(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=2}\)

b) Wystarczy podstawić za x -1 i 2.

\(\displaystyle{ H(-1)=5}\)
\(\displaystyle{ H(2)=68}\)

2. To już masz rozwiązane.

3. Znajdź w zeszycie/podręczniku/forum rozwiązania podobnych przykładów i je przeanalizuj.

[gerrardeco]

Wielkie dzięki, sorry za to nieogarnięcie...

-- 1 czerwca 2010, 21:36 --

Teraz zacząłem robić takie zadania i nawet ogarniam lecz nie moge zrozumieć, jak np. w przypadku pierwszego mam dowieść o tej równości wielomianów?, tu mam 3x do 3 a tam mam ax do 3 i juz moge stwierdzić że to jest równe? mam abx do 2 a w drugim wielomianie 7x do 2 i juz na podstawie tego moge tak nie udowadniając, stwierdzic ze to 3 oraz 2 i kontynuowac dalej zadanie?

i jeszcze do 2, skąd mi się wzięło to przed nawiasem..20/9, bo dalej to już łapie..

2. \(\displaystyle{ W(x)=-\frac{20}{9}(x+3)^2(x-\frac{1}{2})}\)

-- 1 czerwca 2010, 21:54 --bardzo proszę o pomoc również w tych kwestiach które przed chwilą poruszyłem

[?ntegral]

Dane jest twierdzenie o równości wielomianów (proponuję przepisać do zeszytu, oprawić w ramkę i zapamiętać):

Dwa wielomiany zmiennej x są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

Odwołam się jeszcze do zadania pierwszego, które podałeś wyżej.

Dane były wielomiany:

\(\displaystyle{ G(x)=(ax^2+x+3)(x+b)=ax^3+(1+ab)x^2+(3+b)x+3b}\)

\(\displaystyle{ H(x)= 3x^3+7x^2+5x+ 6}\)

Porównując współczynniki wyznaczyliśmy a i b.

Nie wykonaliśmy co prawda sprawdzenia, ale warto takowe na koniec przeprowadzić. Może bowiem zajść sprzeczność. Wtedy nie wszystkie współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ G(x)}\) pokryją się ze współczynnikami wielomianu \(\displaystyle{ H(x)}\).

\(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=2}\)

\(\displaystyle{ 1+ab=7}\), \(\displaystyle{ 3+b=5}\)

Po podstawieniu a i b zachodzi równość, a więc nie ma sprzeczności.

Odnośnie zadania 2. Rozpatrzmy wielomian:

\(\displaystyle{ W(x)=(x+3)^2(x-\frac{1}{2})}\)

Faktycznie taki wielomian jest 3. stopnia, ma dwukrotny pierwiastek -3 i pojedynczy pierwiastek 1/2 (zakładam, że wiesz dlaczego). Ale nie spełnia on warunku:

\(\displaystyle{ W(0)=10}\)

Gdyż: \(\displaystyle{ W(0)=(0+3)^2(0-\frac{1}{2})=-4,5 \neq 10}\)

Dodając odpowiedni współczynnik (w naszym przypadku jego wartość to -20/9) do naszego wielomianu sprawiamy, że zmieniają się wartości jakie dany wielomian przyjmuje, zaś jego miejsca zerowe (pierwiastki) pozostają takie same.

Wielomian musi zatem mieć postać \(\displaystyle{ W(x)=-\frac{20}{9}(x+3)^2(x-\frac{1}{2})}\), aby zachodziła zależność \(\displaystyle{ W(0)=10}\).

Na koniec proponuję Ci zapoznać się z tematem w podręczniku traktującym o postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego (znajdziesz go w rozdziale o funkcji kwadratowej).