Przy liczeniu całek trafiłem na pewien wielomian i zawiesiłem się przy jego rozkładzie (celem uzyskania ułamków prostych). Nawet jeśli jakiś błąd jest, każdy wielomian da się zapisać jako iloczyn najwyżej kwadratowych, więc i to się powinno dać, a ja niebardzo umiem Oto i on:
\(\displaystyle{ W(x)=3x ^{4}+10x ^{2}+3}\)
Być może banalny, ale no nie wiem jak rozłożyć
Rozłożyć na czynniki
-
pa?amurowana
Rozłożyć na czynniki
wstawiłem zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x^2}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ -3=x^2}\) i \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}=x^2}\)
czyli jakaś sprzeczność? tu chyba trzeba się znać na liczbach zespolonych? nie wiem? niech się wypowie ktoś z autorytetem i niech oświeci nas
czyli jakaś sprzeczność? tu chyba trzeba się znać na liczbach zespolonych? nie wiem? niech się wypowie ktoś z autorytetem i niech oświeci nas
Ostatnio zmieniony 29 maja 2010, o 13:12 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Rozłożyć na czynniki
Podstawiamy \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\) i otrzymujemy trójmian kwadratowy
\(\displaystyle{ 3t ^{2}+10t+3}\)
Jego wyróżnik wynosi
\(\displaystyle{ \Delta=10 ^{2}-4 \cdot 3 \cdot 3=100-36=64 >0}\)
Tak więc ma on dwa pierwiastki rzeczywiste
\(\displaystyle{ t _{1}= \frac{-10-8}{6}=-3}\)
\(\displaystyle{ t_{2}= \frac{-10+8}{6}=- \frac{1}{3}}\)
Oba są ujemne więc wielomian \(\displaystyle{ W(x)=3x ^{4}+10x ^{2}+3}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale ma pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ x ^{2}=-3 \Rightarrow x= \sqrt{3}i \vee x=- \sqrt{3} i}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}=- \frac{1}{3} \Rightarrow x= \sqrt{ \frac{1}{3} } i = \frac{ \sqrt{3} }{3}i \vee x=- \frac{ \sqrt{3} }{3} i}\)
\(\displaystyle{ 3t ^{2}+10t+3}\)
Jego wyróżnik wynosi
\(\displaystyle{ \Delta=10 ^{2}-4 \cdot 3 \cdot 3=100-36=64 >0}\)
Tak więc ma on dwa pierwiastki rzeczywiste
\(\displaystyle{ t _{1}= \frac{-10-8}{6}=-3}\)
\(\displaystyle{ t_{2}= \frac{-10+8}{6}=- \frac{1}{3}}\)
Oba są ujemne więc wielomian \(\displaystyle{ W(x)=3x ^{4}+10x ^{2}+3}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale ma pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ x ^{2}=-3 \Rightarrow x= \sqrt{3}i \vee x=- \sqrt{3} i}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}=- \frac{1}{3} \Rightarrow x= \sqrt{ \frac{1}{3} } i = \frac{ \sqrt{3} }{3}i \vee x=- \frac{ \sqrt{3} }{3} i}\)
Ostatnio zmieniony 29 maja 2010, o 11:47 przez xanowron, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
xanowron
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Rozłożyć na czynniki
Pytanie było o rozkład na czynniki, współczynniki mają być rzeczywiste, bo autor powołał się na tw. o rozkładzie każdego wielomianu na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.
Zatem należy skończyć na tym, że
\(\displaystyle{ t _{1}=-3}\)
\(\displaystyle{ t _{2}=-\frac{1}{3}}\)
Czyli wielomian zapisujemy w postaci \(\displaystyle{ 3(t+3)(t+\frac{1}{3})}\), co po powrocie do podstawienia \(\displaystyle{ t=x^2}\) daje żądany rozkład \(\displaystyle{ 3(x^2+3)(x^2+\frac{1}{3})}\)
Zatem należy skończyć na tym, że
\(\displaystyle{ t _{1}=-3}\)
\(\displaystyle{ t _{2}=-\frac{1}{3}}\)
Czyli wielomian zapisujemy w postaci \(\displaystyle{ 3(t+3)(t+\frac{1}{3})}\), co po powrocie do podstawienia \(\displaystyle{ t=x^2}\) daje żądany rozkład \(\displaystyle{ 3(x^2+3)(x^2+\frac{1}{3})}\)