Najmniejsza wartosc wielomianu.

[Cbgirl]

Zadanie wydawalo mi sie proste: Pokaz, ze wielomian ma pozytywna najmniejsza wartosc i dlatego nie posiada rzeczywistych miejsc zerowych.
Wielomian:\(\displaystyle{ P(x)=x^4 -x^3+x^2-x+1}\). A wiec otrzymalam 1. pochodna:
\(\displaystyle{ P'(x)=4x^3-3x^2+2x-1}\)

i powinno byc wszytko proste w tym zadaniu. Rutynowo miejsca zerowe 1.pochodnej i wtedy mam ze najmniejsza wartosc jest pozytywna... ale problem jest juz przy znalezeniu miejsca zerowego 1. pochodnej... jest jakis inny sposb??? albo robie cos nie tak...

[gwi?d?napryszcz]

Dla \(\displaystyle{ x\notin (0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ P(x)=x(x-1)(x^2 +1) +1 \ge 1}\)
Dla \(\displaystyle{ x\in (0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ P(x)=x(x-1)(x^2 +1) +1 \ge x(x-1)\cdot 2 +1 \ge \frac{1}{2}}\)

[lukasz1804]

Akurat w przypadku tego wielomianu znalazłem prosty sposób wykazania, że przyjmuje on tylko wartości dodatnie.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ P(x)=\begin{cases}\frac{x^5+1}{x+1}\ &\text{dla}\ x\ne -1 \\ 5\ &\text{dla}\ x=-1\end{cases}}\).
Stąd oczywiście \(\displaystyle{ P(-1)=5>0}\). Co więcej, dla \(\displaystyle{ x<-1}\) mamy \(\displaystyle{ x^5+1<0}\) oraz \(\displaystyle{ x+1<0}\), czyli \(\displaystyle{ P(x)>0}\). Podobnie dla \(\displaystyle{ x>-1}\) jest \(\displaystyle{ x^5+1>0}\) oraz \(\displaystyle{ x+1>0}\), tj. \(\displaystyle{ P(x)>0}\).
W konsekwencji \(\displaystyle{ P(x)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).

[piasek101]

Albo ,,zauważyć" , że

\(\displaystyle{ P(x)=[x^2-0,5(1-\sqrt 5)x+1][x^2-0,5(1+\sqrt 5)x+1]}\)