Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez...

[Who knew]

Znaleźć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^{100} + 1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2} - 1}\)

[Tomasz Rużycki]

Skorzystaj z tw. Bezouta.

[Who knew]

ale jak? jak znaleźć ten dwumian przez który mogę podzielić?

[baksio]

Dzielenie wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x^2 -1)}\) możemy zapisać tak:
\(\displaystyle{ W(x)= Q(x) * (x^2-1) + R}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ x=1}\) i wychodzi:
\(\displaystyle{ W(1)= Q(1)* 0 + R}\)
\(\displaystyle{ W(1)= R}\)
\(\displaystyle{ R=1^{100} + 1}\)
\(\displaystyle{ R=2}\)
Czyli reszta wynosi \(\displaystyle{ 2}\)

[Tristan]

baksio - a kto powiedział, że reszta z dzielenia będzie wielomianem stopnia zerowego, a nie pierwszego, np.ax+b ?

[enki]

Reszta będzie stopnia zerowego, bo 100 dzieli się przez 2 bez reszty.

[Tristan]

enki - mógłbyś rozwinąć, bo nie wiem co ma wspólnego to co napisałeś z moim pytaniem...
Trzymając się zapisu baksia wiemy, że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) (x^2 -1) +R}\). Nie wiemy czy reszta R jest wielomianem stopnia zerowego czy pierwszego, więc zapiszemy ją jako ax+b. Widzimy, że W(1)=0 oraz W(-1)=0. Otrzymujemy stąd układ równań \(\displaystyle{ a+b=2 -a+b=2}\). Wynika z niego, że \(\displaystyle{ a=0,b=2}\). Dlatego też reszta jest wielomianem stopnia zerowego i wynosi 2, a takiego uzasadnienia brakowało...

[enki]

Wykładnik potęgi dzielnej jest 100, a dzielnika 2, wiec jak może wyjść reszta 1?