kwadrat pewnej liczby

[Hebo]

3. Uzasadnij ze nie istnieje liczba naturalna dodatnia n, dla której liczba \(\displaystyle{ n^4+4n^3+8n^2+16n+16}\) byłaby kwadratem pewnej liczby naturalnej.
Rozbiłem sobie to:
\(\displaystyle{ (n+2)(n+2)(n^2+4)}\)
Ale nie widzę żadnej zależności

[JakimPL]

Idąc z Twojej postaci (nie sprawdzałem jej szczerze ):

Z zapisu \(\displaystyle{ (n+2)^2 (n^2 + 4)}\) wynika, iż \(\displaystyle{ n^2 + 4 = (n+2)^2}\) albo \(\displaystyle{ n^2 + 4 = a^2}\). Żaden znany mi kwadrat liczb \(\displaystyle{ n>0}\) nie różni się od drugiego o \(\displaystyle{ 4}\) (dlaczego?).

[Kartezjusz]

Aby istniał kwadrat takiej postaci
\(\displaystyle{ n^{2}+4=k^{2}}\)dla pewnego k
n i k muszą być dodatnie zgodnie z warunkami zadania
Czyli
\(\displaystyle{ 4=(n-k)(n+k)}\)
To równanie ma pewne rozwiązania w liczbach naturalnych( umiesz je pewnie wyliczyć) i wstawiasz do n ze wszystkich rozwiązań do iloczynu. Nigdy nie powinien wyjść kwadrat

[Hebo]

a dlaczego tam napisałeś:
\(\displaystyle{ (n-k)(n+k)=4}\)
zamiast:
\(\displaystyle{ (n-k)(n+k)=-4}\)

[JakimPL]

\(\displaystyle{ n^2 + 4 = k^2 \\ 4 = k^2 -n^2 \\ 4 = (k-n)(k+n)}\)

Tak powinno być .