Wielomian z parametren

[Bison]

Zbadaj liczbę rozwiązań wielomianu \(\displaystyle{ x^{4}-(m+3)x^{2}+4m=0}\) w zależności od \(\displaystyle{ m}\).

[rodzyn7773]

Poszukaj na forum. Jest tu pewnie tysiąc przykłądów z funkcją dwukwadratową.

[Majeskas]

Jest to równanie dwukwadratowe. Wprowadzając zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x^2}\) będziemy w stanie badać ten wielomian jako trójmian kwadratowy.

Mamy zatem równanie: \(\displaystyle{ t^2-(m+3)t+4m=0}\)

a=1≠0

Jest to ważna informacja. Wynika stąd, że niezależnie od parametru m zawsze mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, gdyż zawsze a≠0, czyli równanie nie może być liniowe.

\(\displaystyle{ \Delta <0}\)

W powyższym wypadku równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.

\(\displaystyle{ \Delta=(m+3)^2-16m=m^2+6m+9-16m=}\)


\(\displaystyle{ =m^2-10m+9<0 \Leftrightarrow m \in (1, 9)}\)

Skoro równanie kwadratowe dla t, nie będzie miało rozwiązań, to tym bardziej nie będzie miało rozwiązań równanie czwartego stopnia dla x.

Dla \(\displaystyle{ m \in (1,9)}\) równanie ma 0 rozwiązań.

Idziemy dalej. Gdy równanie będzie posiadać 1 rozwiązanie (2 równe pierwiastki), może być tak, że rozwiązanie będzie dodatnie. Np. t=4. Wtedy równanie dla x będzie miało 2 rozwiązania, rozwiązanie zerowe, czyli t=0, wtedy x=0 - 1 rozwiązanie, lub ujemne: np: t=-5, wtedy nie będzie rozwiązań x.

Czyli należy sprawdzić, co w wypadku gdy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, czyli gdy ∆=0.

\(\displaystyle{ \Delta=m^2-10m+9=0 \Leftrightarrow (m=1 \vee m=9)}\)

\(\displaystyle{ m=1 \Rightarrow t^2-4t+4=(t-2)^2 \Rightarrow t=2.}\)

\(\displaystyle{ t=2=>x^2=2}\)
Zatem dla m=1 równanie ma 2 rozwiązania.

\(\displaystyle{ m=9 \Rightarrow t^2-12t+36=(t-6)^2 \Rightarrow t=6.}\)

\(\displaystyle{ t=6=>x^2=6}\)
Zatem dla m=9 równanie ma 2 rozwiązania.


Pozostają do rozważenia przypadki, w których równanie kwadratowe ma 2 różne rozwiązania.

a) 2 dodatnie. Np. \(\displaystyle{ t=4 \vee t=9}\), wtedy równanie dla x będzie miało 4 rozwiązania: \(\displaystyle{ x \in}\){-2, 2, -3, 3}

b) 2 ujemne. Np. \(\displaystyle{ t=-4 \vee t=-9}\), wtedy równanie dla x nie będzie miało rozwiązań.

c) różnych znaków. Np. \(\displaystyle{ t=-4 \vee t=9}\), wtedy równanie dla x będzie miało 2 rozwiązania: \(\displaystyle{ x \in}\){-3, 3}

d) zerowe i dodatnie. Np. \(\displaystyle{ t=0 \vee t=9}\), wtedy równanie dla x ma 3 rozwiązania, \(\displaystyle{ x \in}\){0, -3, 3}

e) zerowe i ujemne. Np. \(\displaystyle{ t=0 \vee t=-9}\), wtedy równanie dla x ma 1 rozwiązanie, x=0.

Teraz trzeba ująć to wszystko w zbiór odpowiednich warunków:

a) \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0\\ t_1t_2>0\\ t_1+t_2>0\end{cases}}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0\\ t_1t_2>0\\ t_1+t_2<0\end{cases}}\)

c) \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0\\ t_1t_2<0\end{cases}}\)

d) \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0\\ t_1t_2=0\\ t_1+t_2>0\end{cases}}\)

e) \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta >0\\ t_1t_2=0\\ t_1+t_2<0\end{cases}}\)

Mam nadzieję, że jest jasne, skąd się dany układ warunków wziął.

Rozwiązanie do a):

\(\displaystyle{ \Delta >0 \Rightarrow m \in (- \infty, 1) \cup (9,+ \infty)}\)

\(\displaystyle{ t_1t_2= \frac{c}{a}= \frac{4m}{1}=4m>0 \Rightarrow m \in R_+}\)

\(\displaystyle{ t_1+t_2=- \frac{b}{a}=- \frac{-(m+3)}{1}=m+3>0 \Rightarrow m \in (-3,+ \infty)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \in (- \infty, 1) \cup (9,+ \infty) \\\ m \in R_+\\ m \in (-3,+ \infty)\end{cases} \Rightarrow m \in (0, 1) \cup (9,+ \infty)}\)

Rozwiązania pozostałych układów pozostawiam autorowi tematu.

Odpowiedź:

gdy \(\displaystyle{ m \in (1, 9)}\) równanie ma 0 rozwiązań.

gdy \(\displaystyle{ m \in}\) {1, 9} równanie ma 2 rozwiązania.

gdy m=0 równanie ma 3 rozwiązania.

gdy \(\displaystyle{ m \in (0, 1) \cup (9,+ \infty)}\) równanie ma 4 rozwiązania.


Tak wygląda efekt dyskusji rozwiązań tego równania. Pozdrawiam.