równanie wielomianowe z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: mat1989 »

Dla jakich wartości parametru a równanie :
\(\displaystyle{ x^4+(1-2a)x^2+a-1=0}\)
a)nie ma rowiązania
b)ma dokładnie jedno rozwiązanie
c)ma dokładnie 2 rozwiązania
d)ma dokładnie 3 rozwiązania
Jak takie zadanie rozwiązać?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: Lorek »

\(\displaystyle{ x^2=t\geq 0\\t^2+(1-2a)t+a-1=0}\)
I teraz takie mozliwości
\(\displaystyle{ t_1}\)
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: mat1989 »

mógłbyś to jakoś wyjaśnić? bo nie za bardzo się zorientowałem w temacie
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: Lorek »

Równanie 2-kwadratowe, czyli podstawiamy
\(\displaystyle{ t=x^2}\)
i teraz takie mozliwości
\(\displaystyle{ t_1}\)
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: mat1989 »

powiedzmy tak a) i c) można by zrobi wyznaczając deltę i odpowiednio delta
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: Lorek »

Równanie
\(\displaystyle{ x^4+(1-2a)x^2+a-1=0}\)
ma
a) 1 pierwiastek
b) 3 pierwiastki
gdy równanie
\(\displaystyle{ t^2+(1-2a)t+a-1=0}\)
ma
a)jeden pierwiastek ujemny, drugi równy 0 (i tu jeszcze zapomniałem o innej mozliwości, tzn. jeden pierwiastek równy 0 i drugi równy 0)
b) jeden pierwiastek dodatni , 2 równy 0
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: mat1989 »

a skąd to wynika że jeśli jeden pierwiastek jest ujemny a drugi rowny 0 to rownanie nie ma rozwiązania? bo nie mogę tero zauważyć
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: Lorek »

Jak jeden pierwiastek jest ujemny, a 2 równy 0 to jest jedno rozwiązanie, bo pierwiastki drugiego równania są kwadratami pierwiastków pierwszego (a kwadrat liczby rzeczywistej ujemny nie jest).
Inaczej:
\(\displaystyle{ t_1=0, t_2}\)
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: mat1989 »

czyli jak jest jeden pierwiastek to x może się równać tylko 0?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: Lorek »

Właściwie to tak, zresztą zauważ, że jeżeli \(\displaystyle{ m}\) jest pierwiastkiem równania
\(\displaystyle{ x^4+(1-2a)x^2+a-1=0}\)
to pierwiastkiem tego równania jest także \(\displaystyle{ -m}\)(bo to jest funkcja parzysta)
a ponadto istnieje tylko jedna liczba spełniajaca równanie \(\displaystyle{ m=-m}\)
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: mat1989 »

to może w wolnej chwili rozwiązał byś w całości to zadanie, to ja bym sobie je przemyślał i może wtedy jeszcze zadam jakieś pytania.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: Lorek »

To może zacznę od tego:
\(\displaystyle{ x^2=t\geq 0\\t^2+(1-2a)t+a-1=0}\)
I teraz takie mozliwości
\(\displaystyle{ t_1 ).

A. 0 rozwiązań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}t_1ft{\begin{array}{l}t_1+t_20\end{array}\Leftrightarrow ft{\begin{array}{l}2a-10\end{array}\Leftrightarrow a\in \emptyset}\)

B. 1 rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}t_1=0\\t_2ft{\begin{array}{l}t_1+t_2ft{\begin{array}{l}2a-10}\)

C. 2 rozwiązania
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}t_1>0\\t_20\\a-1=0\end{array}\Leftrightarrow a=1}\)}\)
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: mat1989 »

Adams pisze:Jak policzysz deltę tego 2 równania, to wyjdzie Ci, że jest zawsze dodatnia (więc możemy ją "pominąć" w rozwiązaniu ).
a co jakby była równa 0 albo ujemna?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: Lorek »

No jakby była zawsze większa lub równa 0, to dochodzi rozwiązanie B2 (a oprócz tego nic ciekawego się nie dzieje). Jakby była dodatnia/ujemna w zależności od a, to wtedy wyznaczasz przedziały, w których jest nieujemna (bo w tych przedziałach równanie drugie ma rozwiązania) i uwzględniasz je potem przy rozwiązaniach poszczególnych przypadków (w przedziałach, gdzie delta byłaby ujemna, nie byłoby pierwiastków- przypadek A). Jakby ci wyszło, że delta jest zawsze ujemna, to równanie 2 nie ma pierwiastków, więc i równanie 1 nie ma pierwiastków (przypadek A)
ODPOWIEDZ