Trzy pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^3 +px+q}\) tworzą ciag arytmetyczny o różnicy 4.Oblicz współczynniki p i q.
wiec wiem ze w(a)=0
w(a-4)=0
w(a+4)=0
ale wychodzą mi skomplikowane dzialania da sie jakos szybciej rozwiązac?
współczynniki wielomianu
-
mkb
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
współczynniki wielomianu
Można zacząć ogólnie, jeżeli \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) są pierwiastkami wielomianu w(x) ze współczynnikiem 1 przy najwyższej potędze, to
\(\displaystyle{ w(x)=x^3+b \cdot x^2+c \cdot x+d=(x-x_1)(x-x_3)(x-x_3)}\).
Skąd:
\(\displaystyle{ b=0=-x_1-x_2-x_3}\)
\(\displaystyle{ c=p=x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3}\)
\(\displaystyle{ d=q=-x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}\)
Z warunku na 'b' dostajemy \(\displaystyle{ a=0}\), skąd \(\displaystyle{ q=0}\) (warunek trzeci) oraz \(\displaystyle{ p=x_1 \cdot x_3=-16}\) (warunek drugi).
\(\displaystyle{ w(x)=x^3+b \cdot x^2+c \cdot x+d=(x-x_1)(x-x_3)(x-x_3)}\).
Skąd:
\(\displaystyle{ b=0=-x_1-x_2-x_3}\)
\(\displaystyle{ c=p=x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3}\)
\(\displaystyle{ d=q=-x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}\)
Z warunku na 'b' dostajemy \(\displaystyle{ a=0}\), skąd \(\displaystyle{ q=0}\) (warunek trzeci) oraz \(\displaystyle{ p=x_1 \cdot x_3=-16}\) (warunek drugi).
współczynniki wielomianu
skad wiesz ze
\(\displaystyle{ c=p=x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3}\)
\(\displaystyle{ d=q=-x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}\)
\(\displaystyle{ b=0=-x_1-x_2-x_3}\)
to sa jakies wzory?
\(\displaystyle{ c=p=x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3}\)
\(\displaystyle{ d=q=-x_1 \cdot x_2 \cdot x_3}\)
\(\displaystyle{ b=0=-x_1-x_2-x_3}\)
to sa jakies wzory?
