Dokładnie dwa rozwiązania - założenie

wudoka · Post autor: **wudoka** » 28 kwie 2010, o 20:05

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie
\(\displaystyle{ (m-1)x^{4} - 2(m+4)x^{2} + m = 0}\)
ma dokładnie dwa rozwiązania?

\(\displaystyle{ x^{2} = t

(m - 1)t^{2} - (2m + 8)t + m = 0}\)

Jakie założenia powinienem przyjąć? \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) ?

Post autor: **Chromosom** » 28 kwie 2010, o 20:07

musi zachodzić \(\displaystyle{ \Delta>0}\) (nie może być równa 0 bo wtedy równanie ma jedno rozwiazanie)

wudoka · Post autor: **wudoka** » 28 kwie 2010, o 20:10

Ale jak delta będzie większa od zera, to nie będzie wtedy czterech rozwiązań?

Post autor: **Chromosom** » 28 kwie 2010, o 20:41

przepraszam, pomyliłem się. Z postaci zastosowanego podstawienia \(\displaystyle{ x^2=t\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{t}\right)\left(x-\sqrt{t}\right)=0}\) wynika, że żeby równanie dwukwadratowe miało 2 rozwiązania to jedno z rozwiązań równania powstalego po podstawieniu nich musi być dodatnie (może ono mieć jeden lub dwa pierwiastki), więc rzeczywiście \(\displaystyle{ \Delta\ge0}\), ale to tylko jeden z warunków. Ponadto musisz zapisać warunki na to, żeby jedno rozwiązanie było dodatnie a drugie ujemne, czyli w przypadku \(\displaystyle{ \Delta>0}\) jest \(\displaystyle{ t_1t_2<0}\), a w przypadku \(\displaystyle{ \Delta=0}\) jest \(\displaystyle{ t_1>0}\)