Rozkład na czynniki

kajtek182 · Post autor: **kajtek182** » 17 paź 2006, o 20:03

Mam rozłożyc na czynniki następujący wielomian:

x^2 + x - y^2 -y

W wynikach w podręczniku jest podane rozwiązanie: (x - y)(x + y + 1). Ale nie mam pojęcia jak do tego doszło i byłbym wdzięczny jak ktoś by mi wyjaśnił...

Comma · Post autor: **Comma** » 17 paź 2006, o 20:06

x^2 + x - y^2 - y = (x^2 - y^2) + (x - y)=(x+y)(x-y) + (x-y) = (x+y+1)(x-y)

kajtek182 · Post autor: **kajtek182** » 17 paź 2006, o 21:03

Dzięki za pomoc.

Mam podobny problem z wielomianem: a^2 - b^2 + 2a + 1

Po rozłożeniu na czynniki wygląda on tak: (a + b + 1)(a - b + 1) i znowu nie wiem jak to sie stało

Comma · Post autor: **Comma** » 17 paź 2006, o 21:08

a^2 - b^2 + 2a + 1 = a^2 + 2a +1 - b^2 = (a+1)^2 - b^2 = ((a+1) + b))((a+1) - b)
Trzeba próbowac grupowac na różne sposoby, szukać wzorów skróconego mnożenia, wzajemnych zależności.

greey10 · Post autor: **greey10** » 17 paź 2006, o 21:09

wiesz czasami oplaca sie cos dodac odjac w tym przypadku dodajemy i odejmujemy \(\displaystyle{ ab}\) orac\(\displaystyle{ b}\) takie operacje pomagaja czasem rozlozyc na czynniki pierwsze :>
w ostatnim przeksztalceniu jest blad znaczy puzniej go nie kontynulujesz ale jest zamiast - jest plus

Comma · Post autor: **Comma** » 17 paź 2006, o 21:15

O, racja, nie ten klawisz.
Jasne, ze się opłaca; tutaj dało sie w ten sposób, mi on się wydaje najprostszy.

kajtek182 · Post autor: **kajtek182** » 17 paź 2006, o 21:35

Dzięki raz jeszcze, i żebyście się nie nudzili kolejne zadanie

2x^3 - 5x^2 - 4x + 3

tym razem nie mam rozwiązania. Nie mogę się tu dopatrzeć wzoru skróconego mnożenia, wyłączenie czynników przed nawias ani obliczenie delty też nie pomaga. Przynjamniej tak mi się wydaje... Sorry za zawracanie głowy i z góry dzięki

Edit:
I żeby za chwilę nie pisać nowego posta odrazu zapytam jak rozłożyć x^4 + 1. Ale wyższy priorytet ma dla mnie zadanie powyżej

greey10 · Post autor: **greey10** » 17 paź 2006, o 21:47

w tym przykaldzie zauwazasz ze dla \(\displaystyle{ x=-1}\) wielomian przyjmuje wartosc 0 wiec dzieli sie on przez (x+1) wiec korzystajac z schematu hornera otrzymujemy
\(\displaystyle{ (x+1)(2x^{2}-7x-3)}\) chyba umeisz to dokonczyc

baksio · Post autor: **baksio** » 17 paź 2006, o 21:56

ja bym \(\displaystyle{ x^4 + 1}\) tak rozłożył : \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab}\)
\(\displaystyle{ x^4 + 1 = (x^2)^2 + (1)^2 = (x^2+1)^2 - (sqrt{2} x)^2 = (x^2 - sqrt{2}x +1 )(x^2 + sqrt{2} x +1)}\)

kajtek182 · Post autor: **kajtek182** » 17 paź 2006, o 21:57

greey10 pisze: \(\displaystyle{ (x+1)(2x^{2}-7x-3)}\) chyba umeisz to dokonczyc

Myslalem ze trzeba obliczyc delte trojmianu kwadratowego ale wychodzi liczba z ktorej nie mozna wyciagnac pierwiastka wiec nie umiem

A po drugie:
Czy jest jakis sposób, w ktory wywnioskowales ze pierwiastkiem wielomianu jest -1? Bo ja niestety nie mam takiego mozgu matematycznego, ze na pierwszy rzut oka umiem odgadnac pierwiastek wielomianu.. raczej ten sposob zajal by mi duuuzo czasu, ktorego nie bede mial jutro na sprawdzianie.

greey10 · Post autor: **greey10** » 17 paź 2006, o 22:03

ej ja tez nie patrze na przyklad i wiem jakie ma pierwiastki

zazwyczaj zanim zaczne robic przykald to podstawiam 1 i -1 i sprawdzam czy moze wielomian nie przyjmuje warotosci zero w tych punktach jak tak to mi to ulatwia sprawe a jesli chodzi o pierwiastki to jak to sie mowi zycie nei jest uslane rozami czasem trzeba liczyc :>

kajtek182 · Post autor: **kajtek182** » 17 paź 2006, o 22:08

No dobra, a jak dokonczyc ten powyzszy przyklad? Wystarczy tylko wskazowka

jasny · Post autor: **jasny** » 17 paź 2006, o 22:27

greey10 pisze:otrzymujemy
\(\displaystyle{ (x+1)(2x^{2}-7x-3)}\) chyba umeisz to dokonczyc

+3 ma być w ostatnim nawiasie. Wtedy \(\displaystyle{ \Delta=25,\:x_1=\frac{1}{2},\:x_2=3}\)
\(\displaystyle{ (x+1)(2x^2-7x+3)=2(x+1)(x-\frac{1}{2})(x-3)}\)

kajtek182 · Post autor: **kajtek182** » 18 paź 2006, o 17:15

Dzięki wszystkim za pomoc