Rozwiązanie równania trzeciego stopnia

Mexicanos · Post autor: **Mexicanos** » 27 kwie 2010, o 21:32

Witam, potrzebuje pomocy w rozwiązaniu równania:

\(\displaystyle{ x^{3} - 8 x^{2} + 45 = 0}\)

Proszę o nakierowanie mnie na rozwiązanie bo nie mogę się uporać.

anna_ · Post autor: **anna_** » 27 kwie 2010, o 21:34

\(\displaystyle{ 3}\) jest jednym z pierwiastków

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 27 kwie 2010, o 21:37

\(\displaystyle{ x^{3} - 8 x^{2} + 45 = 0}\)
\(\displaystyle{ x^{3} - 3x^{2} +45 - 5x^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-3)+5(9-x^{2})=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-3)+5(3-x)(3+x)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-3)(x^{2}-5(3+x))=0}\)
\(\displaystyle{ (x-3)(x^{2}-5x-15)=0}\)

No i w środku zostaje jeszcze do rozłożenia funkcja kwadratowa - liczymy wyróżnik i tyle

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 27 kwie 2010, o 21:40

Jeżeli szukasz wymiernych pierwiastków, to mogą być to tylko dzielniki \(\displaystyle{ 45}\), co wynika z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych (poszukaj). Ze schematu Hornera łatwo możemy się przekonać, że \(\displaystyle{ 3}\) jest jednym z nich.

Powyższe twierdzenie pozwala skrócić pracę przy wielomianach, które są znacznie trudniejsze do rozkładu.

Mexicanos · Post autor: **Mexicanos** » 27 kwie 2010, o 21:42

Dziękuje bardzo, wyszło jak należy. To teraz już chyba sobie dam radę z innymi równaniami tego typu