Zbiór \(\displaystyle{ S(R)[ x_{1}, x_{2},... , x_{n} ]}\) wszystkich wielomianów symetrycznych n zmiennych nad pierścieniem \(\displaystyle{ R}\) jest podpierścieniem pierścienia \(\displaystyle{ R[ x_{1}, x_{2},... , x_{n} ]}\)
z dowodem myślę że sobie poradzę no ale....
trzeba wziąć jakieś \(\displaystyle{ f,g \in S(R)[ x_{1}, x_{2},... , x_{n} ]}\) no i trzeba pokazać że ich iloczyn i różnica także należą do tego zbioru no i chciałam zapytać jak zapisać f i g? Bardzo proszę o pomoc nie wiem jak to zapisać w "uczciwy sposób" bo na "chłopski rozum" to jest oczywiste no ale... sprawa jest pilna wiec bardzo prosze:(
wielomiany symetryczne
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wielomiany symetryczne
Jeśli \(\displaystyle{ h=f\cdot g}\), gdzie \(\displaystyle{ f,g}\) symetryczne, to dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\):
\(\displaystyle{ h(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)})=
f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)}) \cdot
g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)})= \\ =
f(x_1,x_2, \dots , x_ n) \cdot
g(x_1},x_2}, \dots , x_n})=h(x_1,x_2, \dots x_n)}\)
co oznacza symetrię wielomianu \(\displaystyle{ h}\).
Q.
\(\displaystyle{ h(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)})=
f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)}) \cdot
g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)})= \\ =
f(x_1,x_2, \dots , x_ n) \cdot
g(x_1},x_2}, \dots , x_n})=h(x_1,x_2, \dots x_n)}\)
co oznacza symetrię wielomianu \(\displaystyle{ h}\).
Q.
wielomiany symetryczne
wszystko rozumiem czyli drugi zapis będzie wyglądał tak:
Jeśli \(\displaystyle{ k=f - g}\), dla \(\displaystyle{ f,g}\) należących do zbioru wielomianów symetrycznych, to znów dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\):
\(\displaystyle{ k(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)})=
f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)}) -
g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)})= \\ =
f(x_1,x_2, \dots , x_ n) -
g(x_1},x_2}, \dots , x_n})=k(x_1,x_2, \dots x_n)}\)
co oznacza tym razem że wielomian \(\displaystyle{ k}\) należy do zbioru wielomianów symetrycznych czyli to co należało dowieść.
tak?
Jeśli \(\displaystyle{ k=f - g}\), dla \(\displaystyle{ f,g}\) należących do zbioru wielomianów symetrycznych, to znów dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\):
\(\displaystyle{ k(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)})=
f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)}) -
g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)}, \dots , x_{\sigma (n)})= \\ =
f(x_1,x_2, \dots , x_ n) -
g(x_1},x_2}, \dots , x_n})=k(x_1,x_2, \dots x_n)}\)
co oznacza tym razem że wielomian \(\displaystyle{ k}\) należy do zbioru wielomianów symetrycznych czyli to co należało dowieść.
tak?