Wielomianik z parametrem

[sirzuben]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których parametr m jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=6mx^3-13mx^2 +13x-6}\).
Przepraszam za zły zapis, spieszyłem się i nie bardzo wiem jak zmienić kod.

[malenstwo31]

ma ktoś jakiś pomysł?też się nad tym zastanawiam..

[JakimPL]

Jeżeli \(\displaystyle{ m}\) jest pierwiastkiem wielomianu, to ten wielomian dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ (x-m)}\), co wynika z twierdzenie Bézouta. Innymi słowa, reszta z dzielenia wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Można podzielić w słupku.

[Pan_Pietrucha]

Jeśli parametr m ma być pierwiastkiem wielomianu, to W(m)=0
W(m)=6\(\displaystyle{ m ^{4}}\)-13\(\displaystyle{ m ^{3}}\) +13m-6=0
6(\(\displaystyle{ m ^{4}}\)-1)-13m(\(\displaystyle{ m ^{2}}\)-1)=0
6(\(\displaystyle{ m ^{2}}\)-1)(\(\displaystyle{ m ^{2}}\)+1)-13m(\(\displaystyle{ m ^{2}}\)-1)=0
(\(\displaystyle{ 6m ^{2}}\)-13m+6)(\(\displaystyle{ m ^{2}-1}\))=0

Jeszcze tylko wyliczysz pierwiastki z \(\displaystyle{ 6m ^{2}}\)-13m+6 i \(\displaystyle{ m ^{2}-1}\) i po zadaniu

[sirzuben]

Oki, dzięki wielkie. Podsumowując dziele to hornerem przez (x-m) i potem delta z reszty ma się równać 0 ?

[erina]

A nie prościej od razu wstawić \(\displaystyle{ x=m}\) i rozwiązać
\(\displaystyle{ 6m^4-13m^3+13m-6=0}\)? (i tak, jak znam życie, taka wyjdzie ta reszta...)

[sirzuben]

Tak jak pan pietrucha, ale właśnie nie do końca rozumiem te grupowanie potem i dlatego boje się tego stosować :/

[erina]

Ale tego i tak nie unikniesz, nawet w tym zadaniu... On po prostu stosuje wzory skróconego mnożenia, niczego dziwnego tam nie robi.

[Pan_Pietrucha]

Tak jak pan pietrucha, ale właśnie nie do końca rozumiem te grupowanie potem i dlatego boje się tego stosować :/

To są podstawowe przekształcenia. Dopisze jedną linike i wytłumaczę to po kolei.

W(m)=6\(\displaystyle{ m ^{4}}\)-13\(\displaystyle{ m ^{3}}\) +13m-6=0
6\(\displaystyle{ m ^{4}}\)-6-13\(\displaystyle{ m ^{3}}\) +13m=0
6(\(\displaystyle{ m ^{4}}\)-1)-13m(\(\displaystyle{ m ^{2}}\)-1)=0
6(\(\displaystyle{ m ^{2}}\)-1)(\(\displaystyle{ m ^{2}}\)+1)-13m(\(\displaystyle{ m ^{2}}\)-1)=0
(6\(\displaystyle{ m ^{2}}\)-13m+6)(\(\displaystyle{ m ^{2}}\)-1)=0

W drugiej lince zmieniam kolejność wyrazów. W trzeciej wyciągam 6 i 13 przed nawias. W czwartej rozbijam \(\displaystyle{ m ^{4}}\)-1 korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)(a+b)=\(\displaystyle{ a ^{2}}\)-\(\displaystyle{ b ^{2}}\). W piątej wyciągam \(\displaystyle{ m ^{2}}\)-1 przed nawias.

[sirzuben]

haha chodziło o to z 5 linijki :p nie wiedziałem jak zwinąłeś to, a to zwykłe wyciągniecie przed nawias. Nie ma to tamto, w matematyce oczy są potrzebne :p
DZIEKI wielkie.