jak dojść do wyniku z pierwiastkiem ?

[QwertyQ]

Witam. Zadanie brzmi następująco.

Liczba \(\displaystyle{ 1 + \sqrt{2}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = x^{3} + mx - 1}\)

Wynik który ma wyjść = \(\displaystyle{ -4 - \sqrt{2}}\)

Wykonuje to zadanie następująco.
\(\displaystyle{ w(1+ \sqrt{2}) = x^{3} + mx -1 = 0}\)
\(\displaystyle{ (1+ \sqrt{2}) ^{3} + mx - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ 1 + 3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{2} + m(1+ \sqrt{2} ) -1 = 0}\)
\(\displaystyle{ 7 + 5 \sqrt{2} + m + \sqrt{2}m -1 = 0}\)
\(\displaystyle{ 6 + 5 \sqrt{2} + m + \sqrt{2}m = 0}\)
\(\displaystyle{ 6 + 5 \sqrt{2} = -m - \sqrt{2}m}\)
I teraz pojawia się pytanie. Bo jeśli po przeniesieniu m i pierwiastka z 2 m , wykonam obustronne skrócenie przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to wynik wychodzi -5,5 czyli trochę mniejszy niż powinien. Jak to rozwiązać aby zachować pierwiastek z dwóch ? bo jeśli wpisze w miejsce \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jego wartość czyli w przybliżeniu 1,41 to wynik wychodzi dobry. Ale bez pierwiastka. Czy takie coś uznali by mi na maturze za błąd ?
Z góry dzięki za odpowiedź
Pozdrawiam

[rodzyn7773]

Tak jak napisałeś:
\(\displaystyle{ w(1+ \sqrt{2} )=0 \\ (1+ \sqrt{2} )^3+(1+ \sqrt{2} )m-1=0 \\ (1+ \sqrt{2} )m=-(6+5 \sqrt{2} ) \\ m=- \frac{6+ 5 \sqrt{2}}{1+ \sqrt{2}} =- \frac{(4+ \sqrt{2})(1+ \sqrt{2}) }{1+ \sqrt{2}} =-4- \sqrt{2}}\)

[QwertyQ]

Dzięki za pomoc. Mam takie pytanie do Ciebie. Jeśli przenoszę na drugą stronę dwa lub więcej wyrazów to wystarczy że wklepie je w nawias i dam minus przed nim ? Chwilę mi zajęło zrozumienie tego " skoku " w Twoim działaniu Nigdy tak nie robiłem. Pozdrawiam

[rodzyn7773]

Przy dodawaniu i odejmowaniu tak. To tak jak każdy z osobna bym przeniósł i wyłączył -1 przed nawias.

[QwertyQ]

ok, dzięki wielkie !