oblicz resztę z dzielenia wielomianu nie wykonując dzielenia

[mimol]

Mam takie zadanie
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu (w) w przez wielomian (v) nie wykonując dzielenia
\(\displaystyle{ w(x)=x^5-x^3+x^2-1}\)
\(\displaystyle{ v(x)=(x-1)(x+1)(x+2)}\)

Jeśli wielomian v miałby postać \(\displaystyle{ (x -x_{0})}\) to potrafiłbym to rozwiązać, jednak w tym przypadku są 3 pierwiastki
Proszę o podpowiedź jak rozwiązać to zadanie (Proszę o 2 rozwiązania -> takie jakie jest w poleceniu, i rozwiązać za pomocą tabelki Hornera (wystarczy mi tylko wynik))

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ w(x)=v(x) \cdot q(x)+ax^{2}+bx+c}\) Z twierdzenia o dzieleniu wielomianu z resztą
Teraz wstawiasz kolejno 1,-1,-2
i otrzymujesz układ równań\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ a-b+c=0 \\ 4a-2b+c=-21{cases}}\)
po prawych stronach są wartości w(x) w odpowiednich punktach( na wypadek mojej pomyłki w rachunkach..
Dodaj teraz dwa pierwsze równania. Dalej idzie z górki

[mimol]

Poprawiony układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ a-b+c=0 \\ 4a-2b+c=-21\end{cases}}\)

Skąd wziąłeś takie dane (czemu raz przy b jest ujemne a raz nie, skąd wziąłeś wynik -21)?

[Kartezjusz]

Bo nasz wielomian niezależnie od postaci musi przyjmować wartości takie jak dzielna(w 1,-1,-2)

[mimol]

wyliczyłem wartości
\(\displaystyle{ a=-7}\)
\(\displaystyle{ b=0}\)
\(\displaystyle{ c=7}\)
Czyli reszta wygląda tak: \(\displaystyle{ -7x^2+7}\)
mógłbyś mi to jaśniej wytłumaczyć bo nic nie rozumiem skąd to wszystko ci się wzięło

[Kartezjusz]

1. Z tw o dzieleniu wielomianu z resztą mamy tę postać.Reszta może mieć stopień conajwyżej 2(mniejszy od tego,przez co dzielisz.)
2. Wstawiasz obustronnie pierwiastki tego przez co dzielisz.
Po lewej masz wartość wielomianu w tych punktach,a po prawej ta część z mnożeniem wyzeruje się na mocy tw Bezout,a niezerowe zostaną tylko reszty i liczysz ich wartość w punktach.