wielomian wielu zmiennych

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 19 kwie 2010, o 14:51

twierdzenie:
Pierścień \(\displaystyle{ R}\) zanurza się izomorficznie w pierścieniu wielomianów \(\displaystyle{ R{[x_1,x_2,…,x_n ]}}\)

w oczywistym dowodzie należy rozpatrzyć odwzorowanie \(\displaystyle{ \phi:R \rightarrow R{[x_1,x_2,…,x_n ]}}\), które każdemu niezerowemu elementowi \(\displaystyle{ a\in R}\)wielomianu stopnia 0 którego współczynnikiem jest \(\displaystyle{ a}\), natomiast zeru pierścienia - wielomianu zerowego. w skutek czego utożsamimy wielomian stopnia 0 i wielomianu zerowego z odpowiednimi elementami pierścienia \(\displaystyle{ R}\)

Czy jest możliwość zapisanie tego bardziej w sposób symboliczny niż słowny? może taki symboliczny będzie jaśniejszy...oby

yorgin · Post autor: **yorgin** » 19 kwie 2010, o 18:12

Uwaga: to nie jest zanurzenie izomorficzne!! Samo zanurzenie z natury jest iniektywne.

Co do treści, chyba najlepiej po prostu zapisać to tak:
\(\displaystyle{ \mathbb{R}\ni a\mapsto a\in \mathbb{R}[X_1,\ldots,X_n]}\)
"Liczbie rzeczywistej a wielomian stały stale równy a."

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 19 kwie 2010, o 19:43

ale mi nie chodziło o symboliczne zapisanie treści twierdzenia tylko dowodu tego twierdzenia, tak żeby było napisane krok po kroku co skąd i jak

yorgin · Post autor: **yorgin** » 19 kwie 2010, o 19:55

Co do treści dowodu - o to mi chodziło.

Odwzorowanie, które napisałem, jest w oczywisty sposób liniowe i iniektywne, więc co mam jeszcze napisać do dowodu?

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 20 kwie 2010, o 16:45

czyli to chodzi o to (mówiąc niematematyczny językiem) że biorę sobie jakieś \(\displaystyle{ a}\) należące do liczb rzeczywistych i działając zgodnie z przepisem \(\displaystyle{ \phi}\) przypisuję mu wielomian stopnia 0 czyli po prostu taki który nie ma x, ani jego potęg, ponieważ jak nakazuje określenie odwzorowania mając dany element mamy otrzymać wielomian, a mając element należący do rzeczywistych otrzymujemy wielomian właśnie stopnia zero? tak?

Chciałam się jeszcze ustosunkować do "uwagi" a mianowicie: treść twierdzenia przepisałam z książki do algebry i brzmi ona dokładnie tak jak to przytoczyłam na początku... dlatego mam rozumieć że w książce twierdzenie jest źle sformułowane?

yorgin pisze:Uwaga: to nie jest zanurzenie izomorficzne!! Samo zanurzenie z natury jest iniektywne.

jak mam to rozumieć?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 kwie 2010, o 16:55

Rozumujesz dobrze.

Co do mojej uwagi: cóż w książce jest elementarny błąd.

Czym jest izomorfizm? "Tłumaczy" język jednej przestrzeni na język innej. Dzięki temu nie rozróżnia się z punktu widzenia algebry tych przestrzeni. Po ludzku jest to liniowa bijekcja A pokaż mi, która liczba rzeczywista przejdzie na wielomian \(\displaystyle{ x^2+1}\). Zgadza się, żadna. Nie ma surjekcji, nie ma i bijekcji a więc izomorfizmu. Jest tylko monomorfizm, o czym wcześniej pisałem.

dodzia_88 · Post autor: **dodzia_88** » 20 kwie 2010, o 17:15

super! bardzo dziękuję za wytłumaczenie tego oczywistego twierdzenia w którym jednak małe niedociągnięcie troszkę mi zamieszało ale już wszystko jest jasne:) dziękuje za cierpliwość i wytrwałość w tłumaczeniu -- 24 kwi 2010, o 10:23 --rozmawiałam z moim promotorem na ten temat no i on mi powiedział że aby było zanurzenie izomorficzne wystarczy że przekształcenie będzie monomorfizmem dlatego też jednak w książce nie było błędu z tego wynika