Udowodnij

[`vekan]

\(\displaystyle{ \sum^n_{k=0} (-1)^k {n\choose k} = 0}\)

[ Dodano: 14 Październik 2006, 20:56 ]
oraz :
\(\displaystyle{ \sum^p_{k=0} {n\choose k}{n-k\choose p-k}a^kb^{p-k ={n\choose p}(a+b)^p n>=p>=0}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \sum^n_{k=0} (-1)^k {n\choose k} = (1-1)^n}\)

[sushi]

\(\displaystyle{ (x+y)^n= \bigsum_{k=0}^{n} {{n \choose k} x^{n-k} y^k}}\)
robimy podstawienie
x=====1
y====-1
i wszystko jasne

[`vekan]

a te a i b to losowe ? czy jak

[sushi]

\(\displaystyle{ {r \choose m}{m \choose k}={r \choose k}{{r-k} \choose {m-k}}}\)

m,k całkowite

podany przepis (x+y)^n=...
za "x" kładziemy 1, za "y" kładziemy -1
po lewej jest 0 , po prawej to co chcemy pokazać

[`vekan]

no to ja czaje wychodzi mi poprawnie. Ale dlaczego za a przyjmuje 1 a za b= -1

[sushi]

\(\displaystyle{ \sum^p_{k=0} {n\choose k}{n-k\choose p-k}a^kb^{p-k} ={n\choose p}(a+b)^p}\)

\(\displaystyle{ {n\choose p}(a+b)^p={n\choose p}(b+a)^p = {n \choose p} \bigsum_{k=0}^{p} {p\choose k}b^{p-k}a^k= \bigsum_{k=0}^{p} {n \choose p}{p\choose k}b^{p-k}a^k}\)

\(\displaystyle{ {n \choose p}{p\choose k}= \frac{n!}{p!(n-p)!} \frac{p!}{k!(p-k!)}=\frac{n!}{k!(n-p)!(p-k!)} =\frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(n-k)!}{(n-p)!(p-k!)}}\)

[ Dodano: 14 Październik 2006, 21:44 ]
tylko to jest do pierwszego, w b) "a" i "b" są dowolne