reszta z wielomianów, tw. bezouta i parametry

fanch · Post autor: **fanch** » 14 paź 2006, o 17:24

witam Wszystkich, jestem tu nowy, ale napewno zabawie tutaj na dłużej...

a wiec do rzeczy:

zad1. nie wykonując dzielenia sprawdź czy wielomian w jest podzielny przez wielomian u:
a) w(x)= \(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} - 4x^{2} + 5x - 3}\) , u(x)=(x-1)(x+3)
b) w(x)= \(\displaystyle{ 7x^{3} -6x^{2}+3x+1}\) , u(x)=\(\displaystyle{ 2x^{2}+x-1}\)
c) w(x)= \(\displaystyle{ 4x^{4}+x^{3}-19x^{2}-4x+12}\) , u(x)=(x+1)(x+2)(x-2)

te zadanie zrobiłem, wyszło mi zgodnie z rozwiązaniem, ale nie wiem czy to tak sie robi, tak wiec zrobiłem tak: w przykładnie a) obliczyłem wielomiany w(1) i w(-3), z kazdych wyszło 0 wiec chyba oznacza to ze jest podzielny.
w przykładnie b) obliczyłem pierwiastki i zrobiłem tak samo jak w przykładzie a) ale tu wyszedł wynik rózny od zera , wiec chyba nie jest podzielny,
w przkładzie c) obliczyłem w(-1), w(2), w(-2). i wszedzie wyszłlo 0. pytanie mam takie: czy to sie tak robi ?? bo jesli tak to ok, ale jesli nie to prosiłbym o wytłumacznie, ale mam nadzieje ok, ale zawsze lepiej sie upewnic.

zad.2.wyznacz resztę z dzielenie wielomianu w przez:
a)(x-3)(x+2), jeżelireszta z dzielenie wielomianu w przez x-3 wynosi 7 , a przez x+2 wynosi -3.
nie ipsze wiecej przykładów z tego zadania, bo chcem zebyscie mi pokazali tylko sposób jak to rozwiązać.

zad.3.nie wykonując dzielenia, znajdź resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian u:

a) w(x)=\(\displaystyle{ x^{5}-x^{3}+x^{2}-1}\) , u(x)=(x-1)(x+1)(x+2)

i ostatnie:
zad.4 dla jakich wartości parametrów a,b, liczba \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w ??
a) w(x)-\(\displaystyle{ 6x^{4}+8x^{3}-8x^{2}+ax+b}\), x0=-1

prosze o pomoc, nie tyle o wyniki choc tez mile widziane, ale o sposób jak to wszystko obliczyć.
pozdrawiam

Zmieniłam troszkę temat. Nie proś w temacie o pomoc, skoro piszesz posta znaczy, że potrzebujesz pomocy
Lady Tilly

Mrrudzin · Post autor: **Mrrudzin** » 14 paź 2006, o 17:41

Zadanie 1
Tak się robi.
Jeśli a jest pierwiastkiem wielomianu, to W(a)=0
(interpretacja graficzna - bo w punkcie X=a jest miejsce zerowe).

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 14 paź 2006, o 18:06

3) 1 i -1 są pierwiastkami wielomianu zajmujesz się wiec liczbą -2 ona nie jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ (-2)^{5}-(-2)^{3}+(-2)^{2}-1=-21}\) tyle wynosi reszta

juzef · Post autor: **juzef** » 14 paź 2006, o 18:19

Dlaczego zakładasz, że ta reszta będzie wielomianem stałym?

Mrrudzin · Post autor: **Mrrudzin** » 14 paź 2006, o 18:36

Jeśli chodzi o zadanie 3
W(x) można zapisać w postaci iloczynowej
\(\displaystyle{ w(x)=(x-1)(x+1)^2 (x^2-x+1)}\)
Jeśli teraz popatrzymy na oba wielomiany (w(x) i u(x))

to pozostanie
\(\displaystyle{ \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+2}}\)
co jest resztą

Pytanie tylko co autorzy mieli na myśli pisząc "nie wykonując dzielenia" bo to co zrobiłem możnaby pod dzielenie podciągnąć.

zadanie 4

xo=-1 ma być podwójnym pierwiastkiem

Zatem \(\displaystyle{ A(x)=(x-x_{0})^2=(x+1)^2=x^2+2x+1}\) podzieli wielomian W(x) bez reszty.
Wykonujemy dzielienie pisemne (W(x)/A(x))
W rezultacie otrzymujemy \(\displaystyle{ 5x^2-6x-1}\) jako wynik dzielenia, oraz \(\displaystyle{ (a+8)X+b+1}\)jako resztę.
Aby reszta była równa zero (założenie zadania)
a+8=0 oraz b+1=0.
Stąd otzymujemy wartości parametrów
a=-8
b=-1

fanch · Post autor: **fanch** » 14 paź 2006, o 18:38

Mrrudzin pisze: Zadanie 1
Tak się robi.
Jeśli a jest pierwiastkiem wielomianu, to W(a)=0
(interpretacja graficzna - bo w punkcie X=a jest miejsce zerowe).

tylke to wiem

Lady Tilly , cos raczej nie tak, bo wg odpowiedzi reszta ma sie równać:
\(\displaystyle{ -7x^{2}+7}\)

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 14 paź 2006, o 18:46

Oj to dobrze wychodzi ponieważ \(\displaystyle{ -7{\cdot}(-2)^{2}+7=-21}\)

Mrrudzin · Post autor: **Mrrudzin** » 14 paź 2006, o 18:48

tylke to wiem

A jakiej odpowiedzi oczekiwałeś?

juzef · Post autor: **juzef** » 14 paź 2006, o 19:18

Lady Tilly pisze:Oj to dobrze wychodzi ponieważ \(\displaystyle{ -7{\cdot}(-2)^{2}+7=-21}\)

Jeśli wychodzi -21 a ma wyjść \(\displaystyle{ -7x^2+7}\), to moim zdaniem nie wychodzi dobrze.

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 14 paź 2006, o 21:57

Masz rację troszkę nie tak jak trzeba napisałam. Teraz widzę gdzie jest mój błąd w rozumowaniu.

fanch · Post autor: **fanch** » 15 paź 2006, o 13:14

Mrrudzin wielkie dzieki za zadanie4, troche tam Ci zle wyszło, ale ogólnie zrozumiałem oco chodzi i dalej juz rozwiązałem dobrze.dzieki.

ale co do zad 3 to nadal lipa, podzieliłem tak jak napisałeś i wyszło mi reszta -7. a ma byc -7x^2+7. ktos ma moze jakies pomysły ??

a no i zróbmy cos z tym zadaniem nr 2 ( oczywisice zrób"my" bo ja nie mam pojęcia )

Mrrudzin · Post autor: **Mrrudzin** » 15 paź 2006, o 21:40

Mrrudzin wielkie dzieki za zadanie4, troche tam Ci zle wyszło, ale ogólnie zrozumiałem oco chodzi i dalej juz rozwiązałem dobrze.dzieki.

A gdzie jest błąd w moim rozwiązaniu?
Liczyłem ręcznie i sprawdzałem na kalkulatorze - powinno być ok.

fanch · Post autor: **fanch** » 16 paź 2006, o 16:01

\(\displaystyle{ (6x^{4}+8x^{3}-8x^{2}+ax+b):(x^{2}+2x+1)=6x^{2}-4x-6 \\
reszta: ax+16x+b+6 => a=-16, b=-6}\)