Wyznacz parametr a oraz pierwiastki tego wielomianu

[daniel285]

suma kwadratów pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=ax^3-6ax^2+(5a+6)x-6}\) jest równa 14.
Wyznacz parametr a oraz pierwiastki tego wielomianu, jeżeli jego współczynniki sa liczbami całkowitymi.

[mariola.cugowska]

mi wyszło, że parametr a=1 a pierwiastki równania to \(\displaystyle{ x _{1}=1}\) \(\displaystyle{ x _{2}=2}\) a \(\displaystyle{ x _{3}=3}\)

[Mraauuu]

A więc tak:

\(\displaystyle{ ax^{3}-ax^{2} +5ax+6x-6= ax^{2}(x-1)- 5ax(x-1) + 6(x-1)= (x-1)(ax^{2}-5ax +6)}\)
teraz 2 nawias. Wiemy, że suma kwadratów daje 14. Jeden pierw. to x=1, czyli
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}= 14}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+z^{2}= 13}\)

\(\displaystyle{ (y+z)^{2}=y^{2}+z^{2}-2yz}\)

Korzystamy ze wzorów Vieta i wychodzi, że

\(\displaystyle{ 25-12/a=13}\) Z tego nam wyjdzie, że a=1

Potem wstawisz do nawiasu a=1 i z delty policzysz dwa kolejne pierwiastki.

[daniel285]

teraz jak juz jest zrobione to po wymnozeniu wiem co skad sie wzielo ale skad to wiedziec jak sie pierwszy raz zadanie widzi, jest na to jakis sposob?

[Mraauuu]

Tak:

Trzeba myśleć co się może przydać:
-Masz podane ze potrzebne są miejsca zerowe no to przekształcasz funkcję, żeby wyznaczyć m-ca zerowe.
- Czasem jak są właśnie wyrażenia typu 2xy, x^2+y^2, x+y gdzie x,y to pierwiastki równiania kwadratowego to trzeba korzystać ze wzorów Vieta.