wielomiany symetryczne- zadania

[edzia18lesniak]

Bardzo proszę o rozwiązanie poniższych zadań:

I. Podane wielomiany wyrazić za pomocą elementarnych wielomianów symetrycznych:
a)\(\displaystyle{ x^{2}y+xy ^{2}+ x^{2}z+xz ^{2}+y^{2}z+yz ^{2}}\)
b)\(\displaystyle{ x ^{4} +y ^{4}+ z ^{4} -2x ^{2} y ^{2} -2x ^{2} z ^{2}-2y ^{2} z ^{2}}\)
c)\(\displaystyle{ (xy+zw)(xz+yw)(xw+yz)}\)
d) \(\displaystyle{ (x+y+1)(x+z+1)(y+z+1)}\)
e) \(\displaystyle{ (xy+z)(xz+y)(yz+x)}\)

II. Wyznaczyć wartość wielomianu symetrycznego F względem pierwiastków wielomianu f(x)
a)\(\displaystyle{ F=x ^{3} (y+z)+y^{3} (x+z)+z ^{3} (x+y) f(x)=z-y-4x+1}\)
b)\(\displaystyle{ (x-y)^{2}(x-z)^{2} (y-z)^{2} f(x)= x ^{3} +a(x ^{2})+bx+c}\)

III.Niech \(\displaystyle{ \sigma _{ki}}\) oznacza elementarny wielomian stopnia k zmiennych \(\displaystyle{ x _{1} ,..., x _{i-1},x _{i+1} ,...,x _{n}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \sigma _{ki} = \sigma _{k} - x _{i} \sigma _{k-i} +...+(-1) ^{k-1} (x _{i}) ^{k-1} \sigma _{1}+(-1) ^{k} (x _{i}) ^{k}}\)
przyjmujemy, ze \(\displaystyle{ \sigma _{m}=0}\) dla \(\displaystyle{ m>n}\) i \(\displaystyle{ \sigma _{mi}=0}\) dla \(\displaystyle{ m \ge n}\)

Iv. Wykazać, że wartość każdego wielomianu symetrycznego n zmiennych o współczynnikach całkowitych dla pierwiastków stopnia n z 1 jest liczbą całkowitą

V. Wykazać wzór Newtona wiążący sumy potęg \(\displaystyle{ s _{k}= (x _{1}) ^{k}+...+(x _{n}) ^{k}}\),\(\displaystyle{ k \in N}\), z elementarnymi wielomianami symetrycznymi
\(\displaystyle{ s _{k}-\sigma _{1}s _{k-1}+\sigma _{2}s _{k-2}-...+(-1) ^{k-1}\sigma _{k-1}s _{1}+ (-1) ^{k}k\sigma _{k}=0}\) przyjmujemy, że \(\displaystyle{ \sigma _{k}=0}\) dla k>n
VI. Korzystając ze wzoru Newtona, wyrazić:
a) sumy potęg \(\displaystyle{ s _{2},s _{3},s _{4}}\)za pomocą wielomianów symetrycznych,
b) elementarne wielomiany symetryczne \(\displaystyle{ \sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}}\) za pomocą sum potęg

VII. Rozwiązać układ równań nad ciałem liczb zespolonych:
a)\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=0\\ x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =0 \\ x ^{3} +y ^{3} +z ^{3} =24 \end{cases}}\)
b)\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =6\\ x ^{3} +y ^{3} +z ^{3}-xyz =-4 \\ xy+xz+yz =-3 \end{cases}}\)