Dane jest równianie: \(\displaystyle{ (m-2)x^{4}-2(4m-3)x^{2}+7m-4=0}\).
b) Dla jakich m rozwiązania rzeczywiste równania są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Wypisz wyrazy tego ciągu.
Robie założenie, że \(\displaystyle{ \Delta>0}\) i nie wiem, co dalej? Na pewno pierwiastki będą wyglądały tak: a, -a, 3a, -3a.
Dziękuje i pozdrawiam
parametr m, wielomian 4 stopnia, ciag arytmetyczny
-
rodzyn7773
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
parametr m, wielomian 4 stopnia, ciag arytmetyczny
\(\displaystyle{ (m-2)x^{4}-2(4m-3)x^{2}+7m-4=0 \\ x^2=t \wedge t>0 \\ (m-2)t^2-2(4m-3)t+7m-4=0}\)
Trzeba to zrobić na dwa przypadki. O ciągu mówimy wtedy kiedy ma przynajmniej 3 wyrazy.
I przypadek:
Ciąg ma trzy wyrazy -
Założenia:
1) Równanie ze zmienną t musi być równaniem kwadratowym
2) Równanie to musi mieć dwa pierwiastki przy czym jeden z nich jest dodatni a drugi równy 0
Założenia są równoważne z układem równań, które rozwiążesz używając m. in. wzorów Vieta:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m-2 \neq 0 \\ \Delta>0 \\ t_1*t_2=0 \\ t_1+t_2>0 \end{cases}}\)
II przypadek:
Ciąg ma cztery wyrazy -
Założenia początkowe:
1) Równanie ze zmienną t musi być kwadratowe
2) Równanie to musi mieć dwa rozwiązania dodatnie
Układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m-2 \neq 0 \\ \Delta>0 \\ t_1*t_2>0 \\ t_1+t_2>0 \end{cases}}\)
Również doszedłem do tego, że rozwiązaniami równania ze zmienną t muszą być postaci:
\(\displaystyle{ t_1>0 \\ t_2=3t_1}\)
Zapiszę równanie w postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ (m-2)(t-t_1)(t-3t_1)=(m-2)(t^2-4t_1*t+3t_1^2)=0}\)
Teraz porównam je z równaniem z zadania:
\(\displaystyle{ (m-2)(t^2-4t_1*t+3t_1^2)=(m-2)t^2-2(4m-3)t+7m-4 \ (m-2)(t^2-4t_1*t+3t_1^2)=(m-2)[t^2- frac{2(4m-3)}{m-2} t + frac{7m-4}{m-2}}\)
Porównam odpowiednie współczynniki i utworzę układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -4t_1=- \frac{2(4m-3)}{m-2} \\ 3t_1^2= \frac{7m-4}{m-2} \end{cases}}\)
Powodzenia w rozwiązywaniu życzę
Trzeba to zrobić na dwa przypadki. O ciągu mówimy wtedy kiedy ma przynajmniej 3 wyrazy.
I przypadek:
Ciąg ma trzy wyrazy -
Założenia:
1) Równanie ze zmienną t musi być równaniem kwadratowym
2) Równanie to musi mieć dwa pierwiastki przy czym jeden z nich jest dodatni a drugi równy 0
Założenia są równoważne z układem równań, które rozwiążesz używając m. in. wzorów Vieta:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m-2 \neq 0 \\ \Delta>0 \\ t_1*t_2=0 \\ t_1+t_2>0 \end{cases}}\)
II przypadek:
Ciąg ma cztery wyrazy -
Założenia początkowe:
1) Równanie ze zmienną t musi być kwadratowe
2) Równanie to musi mieć dwa rozwiązania dodatnie
Układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m-2 \neq 0 \\ \Delta>0 \\ t_1*t_2>0 \\ t_1+t_2>0 \end{cases}}\)
Również doszedłem do tego, że rozwiązaniami równania ze zmienną t muszą być postaci:
\(\displaystyle{ t_1>0 \\ t_2=3t_1}\)
Zapiszę równanie w postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ (m-2)(t-t_1)(t-3t_1)=(m-2)(t^2-4t_1*t+3t_1^2)=0}\)
Teraz porównam je z równaniem z zadania:
\(\displaystyle{ (m-2)(t^2-4t_1*t+3t_1^2)=(m-2)t^2-2(4m-3)t+7m-4 \ (m-2)(t^2-4t_1*t+3t_1^2)=(m-2)[t^2- frac{2(4m-3)}{m-2} t + frac{7m-4}{m-2}}\)
Porównam odpowiednie współczynniki i utworzę układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -4t_1=- \frac{2(4m-3)}{m-2} \\ 3t_1^2= \frac{7m-4}{m-2} \end{cases}}\)
Powodzenia w rozwiązywaniu życzę