Równianie z parametrem_2
Równianie z parametrem_2
Wyznacz te \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \left( x^{2}-2x+m-2 \right) \left( \left| x-1\right| -m+1\right) =0}\) o niewiadomej \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie trzy rozwiązania. Wyznacz te rozwiązania.
-
matshadow
- Użytkownik
- Posty: 941
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kingdom Hearts
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 222 razy
Równianie z parametrem_2
No to przyjrzyjmy się każdemu nawiasowi.
\(\displaystyle{ |x-1| -m+1=0 \Leftrightarrow x=m\vee x=2-m}\)
Teraz, rozpatrzmy przypadek, że \(\displaystyle{ m=2-m}\), czyli dla \(\displaystyle{ m=1}\)
Wtedy z równania kwadratowego musimy dostać dwa pierwiastki
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-2x+m-2 \right)=0\\\Delta=12-4m=8\\x=\frac{2-\sqrt{8}}{2}\vee x=\frac{2+\sqrt{8}}{2}}\)
Jak widać, każde dwa z pierwiastków \(\displaystyle{ (1, \frac{2-\sqrt{8}}{2}, \frac{2+\sqrt{8}}{2})}\) są parami różne, czyli spełniają warunki zadania.
A teraz dla \(\displaystyle{ m\ne 1}\)
Mamy pierwiastki \(\displaystyle{ (m, 2-m)}\), więc z równania kwadratowego musimy dostać jeden pierwiastek.
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-2x+m-2 \right)=0\\\Delta=12-4m=0 \Rightarrow m=3\\x=\frac{2}{2}=1}\)
Mamy zatem pierwiastki \(\displaystyle{ (3, 1, -1)}\), które też są różne. Koniec zadania
\(\displaystyle{ |x-1| -m+1=0 \Leftrightarrow x=m\vee x=2-m}\)
Teraz, rozpatrzmy przypadek, że \(\displaystyle{ m=2-m}\), czyli dla \(\displaystyle{ m=1}\)
Wtedy z równania kwadratowego musimy dostać dwa pierwiastki
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-2x+m-2 \right)=0\\\Delta=12-4m=8\\x=\frac{2-\sqrt{8}}{2}\vee x=\frac{2+\sqrt{8}}{2}}\)
Jak widać, każde dwa z pierwiastków \(\displaystyle{ (1, \frac{2-\sqrt{8}}{2}, \frac{2+\sqrt{8}}{2})}\) są parami różne, czyli spełniają warunki zadania.
A teraz dla \(\displaystyle{ m\ne 1}\)
Mamy pierwiastki \(\displaystyle{ (m, 2-m)}\), więc z równania kwadratowego musimy dostać jeden pierwiastek.
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-2x+m-2 \right)=0\\\Delta=12-4m=0 \Rightarrow m=3\\x=\frac{2}{2}=1}\)
Mamy zatem pierwiastki \(\displaystyle{ (3, 1, -1)}\), które też są różne. Koniec zadania
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2010, o 19:35 przez matshadow, łącznie zmieniany 1 raz.
Równianie z parametrem_2
tak, rozwiązanie jasne i proste, z tym że jak dla mnie nieoczywistym jest z nawiasu z wartością bezwzględną zamienianie w jednym z warunków 'lub' na 'i', żeby było m=2-m, choć jest to zrozumiałe.
Ale zasadnicza trudność polega na krokach, jakie wyczytałem w rozwiązaniach:
Przykładowe rozwiązanie
Po wprowadzeniu nowej niewiadomej t=x-1 (Po cholerę, bo niewiele to ułatwia?)
równanie \(\displaystyle{ \left( x^{2}-2x+m-2 \right) \left( \left| x-1\right| -m+1 \right)=0}\)
przyjmie postać \(\displaystyle{ \left( t^{2}+m-3 \right) \left( \left| t\right|-m+1 \right)=0}\).
Niech \(\displaystyle{ f(t)= \left( t^{2}+m-3 \right) \left( \left| t\right|-m+1 \right)}\). gdzie \(\displaystyle{ t \in R}\).
Funkcja f jest parzysta. Zatem warunki zadania będą spełnione, gdy funkcja f będzie miała trzy miejsca zerowe.
Stąd wynika, że jednym z miejsc zerowych musi być liczba zero.
Wobec tego \(\displaystyle{ \left( m-3\right) \left( 1-m\right) =0}\) I WŁAŚNIE TO NIE WIEM SKĄD SIĘ WZIĘŁO I PROSZĘ O OŚWIECENIE
Ale zasadnicza trudność polega na krokach, jakie wyczytałem w rozwiązaniach:
Przykładowe rozwiązanie
Po wprowadzeniu nowej niewiadomej t=x-1 (Po cholerę, bo niewiele to ułatwia?)
równanie \(\displaystyle{ \left( x^{2}-2x+m-2 \right) \left( \left| x-1\right| -m+1 \right)=0}\)
przyjmie postać \(\displaystyle{ \left( t^{2}+m-3 \right) \left( \left| t\right|-m+1 \right)=0}\).
Niech \(\displaystyle{ f(t)= \left( t^{2}+m-3 \right) \left( \left| t\right|-m+1 \right)}\). gdzie \(\displaystyle{ t \in R}\).
Funkcja f jest parzysta. Zatem warunki zadania będą spełnione, gdy funkcja f będzie miała trzy miejsca zerowe.
Stąd wynika, że jednym z miejsc zerowych musi być liczba zero.
Wobec tego \(\displaystyle{ \left( m-3\right) \left( 1-m\right) =0}\) I WŁAŚNIE TO NIE WIEM SKĄD SIĘ WZIĘŁO I PROSZĘ O OŚWIECENIE
-
matshadow
- Użytkownik
- Posty: 941
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kingdom Hearts
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 222 razy
Równianie z parametrem_2
Podejrzewam, że z tego:
\(\displaystyle{ f(t)= \left( t^{2}+m-3 \right) \left( \left| t\right|-m+1 \right)=\left( t^2|t|+t^2(-m+1)+|t|(m-3)+ (m-3)(-m+1) \right)}\)
Skoro jednym z rozwiązań jest 0, to jak za t podstawisz 0, to dostaniesz
\(\displaystyle{ f(0)=(m-3)(-m+1)}\)
a żeby były 3 pierwiastki, to wartości obu tych nawiasów muszą być równe 0
\(\displaystyle{ f(t)= \left( t^{2}+m-3 \right) \left( \left| t\right|-m+1 \right)=\left( t^2|t|+t^2(-m+1)+|t|(m-3)+ (m-3)(-m+1) \right)}\)
Skoro jednym z rozwiązań jest 0, to jak za t podstawisz 0, to dostaniesz
\(\displaystyle{ f(0)=(m-3)(-m+1)}\)
a żeby były 3 pierwiastki, to wartości obu tych nawiasów muszą być równe 0
Równianie z parametrem_2
W gruncie rzeczy nie trzeba nic rozpisywać, wystarczy wyłącznie podstawić.
Nieopatrzność.
Dzięki za pomoc
Nieopatrzność.
Dzięki za pomoc