równość wielomianów

[mefek]

Wyznacz parametry a, b, c tak, aby wielomiany P(x) i Q(x) były równe:
\(\displaystyle{ P(x) = ax^3-4x^2+5x-2\\ Q(x) = (x-b)^2(x-c)}\)

dziękuję

[adriano19]

wymnóż drugi wielomian i przypomnij sobie definicje kiedy wielomiany są równe

[aga2690]

Wydaje mi się, że powinno to wyglądać w ten sposób, ale mogę się mylić...
\(\displaystyle{ ax^{3}-4x^{2}+5x-2=(x^{2}-2xb+b^{2})(x-c)}\)
\(\displaystyle{ ax^{3}-4x^{2}+5x-2=x^{3}-cx^{2}-2x^{2}b+2xbc+xb^{2}-b^{2}c}\)
teraz przyrównałam x o tych samych stopniach pierwiastków:
\(\displaystyle{ ax^{3}=x^{3}}\)
\(\displaystyle{ -4x^{2}=-cx^{2}-2x^{2}b}\)
\(\displaystyle{ 5x=2xbc+xb^{2}}\)
czyli:
a=1
a teraz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -4=-c-2b\\5=2bc+b^{2}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c=-2b+4\\5=2bc+b^{2}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 5=2b(-2b+4)+b^{2}}\)
\(\displaystyle{ -3b{2}+8b-5=0}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=1
b_{2}=\frac{5}{3}}\)
\(\displaystyle{ c_{1}=2
c_{2}=\frac{2}{3}}\)
ale c2 i b2 trzeba odrzucić, ponieważ
\(\displaystyle{ -2=-b^{2}c}\)

[mefek]

tak zrobiłem i wyszło mi:
a = 1
b = 5/3 lub b = 1 lub b = 1/2(1-\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)) lub b = 1/2(1+\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\))
c = 2/3 lub c = 2 lub c = 3 +\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) lub 3 -\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)

a w odpowiedziach jest:
a = 1
b = 1
c = 2

[aga2690]

O....czyli dobrze mi wyszło, ale nie rozumiem dlaczego masz aż 4 rozwiązania, mi wyszły b i c po dwa, ale odrzuciłam b=5/3 i c=2/3, bo nie wychodzi równość z \(\displaystyle{ -2=-b^{2}c}\)