Równanie z parametrem, MATURA p. rozszerzony

[tomekkyo]

Dane jest równanie \(\displaystyle{ x^{3}-(2m+3)x^{2}-5x=0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i parametrem \(\displaystyle{ m}\).
a) Wykaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ m \in R}\) równanie ma trzy pierwiastki, z których dwa mają różne znaki.
b) Wyznacz wartość \(\displaystyle{ m}\) tak, aby jeden z pierwiastków równania był średnią arytmetyczną pozostałych.

Podejrzewam że trzeba wykorzystać wzory Viete'a, tylko nie mam pojęcia jak. Jeżeli można krok po kroku z krótkim komentarzem, będzie łatwiej zrozumieć.

a) Zrobiłem w ten sposób (można podpowiedzieć czy dobry):

Wyciągnąłem \(\displaystyle{ x}\) przed nawias \(\displaystyle{ x(x^{2}-(2m+3)x-5)}\) z tego wynika, że jedno miejsce zerowe to \(\displaystyle{ x_{o}=0}\), a korzystając z wzorów Viete' a postawiłem warunek \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}< 0 <=> x_{1}< 0, x_{2}>0}\) no i wstawiłem \(\displaystyle{ \frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5< 0 = > x_{1}< 0,x_{2}>0}\)
Są trzy miejsca zerowe, z tego dwa mają różne znaki, co trzeba było wykazać.

Ale na b) nie mam idei.

[rubik1990]

Po pierwsze widzimy, że zero jest jednym z rozwiązań tego równania. Trzeba wykazać, że trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe różnych znaków. Zastanów się jaki musi być iloczyn i suma dwóch pierwiastków o różnych znakach.
b) No to najprościej by zero było tym pierwiastkiem. Wedy \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=0}\)

[rodzyn7773]

\(\displaystyle{ x^{3}-(2m+3)x^{2}-5x=0 \\ x(x^2-(2m+3)x-5)=0}\)

a) Jednym z pierwiastków jest 0. Musisz sprawdzić czy równanie kwadratowe ma zawsze dwa pierwiastki przeciwnych znaków:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_1*x_2<0 \end{cases}}\)

b)Skoro wiesz, że jednym z pierwiastków jest 0 a dwa pozostałe mają przeciwne znaki to musi być spełniona równość:
\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2}{2} =0 \\ x_1+x_2=0}\)
Czyli rozpisać to ze wzorów Vieta.-- 11 kwi 2010, o 12:10 --

Po pierwsze widzimy, że zero jest jednym z rozwiązań tego równania. Trzeba wykazać, że trójmian kwadratowy ma dwa miejsca zerowe różnych znaków. Zastanów się jaki musi być iloczyn i suma dwóch pierwiastków o różnych znakach.

Iloczyn należy zbadać ale sumy raczej nie.

[rubik1990]

Zgadza się, zapomniałem że tylko o to by były przeciwnych znaków chodziło.

[tomekkyo]

Dziękuję, już rozumiem to zadanie.