wielomian z parametrem

[beta666]

Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{3} - 3x - m = 0}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste ?

[tometomek91]

\(\displaystyle{ \Delta=\left( \frac{-3}{3} \right) ^{3} + \left(\frac{-m}{2} \right)^{2}<0}\)

[beta666]

ach dobra, teraz widzę wzory w internecie. Dzięki

[meninio]

Myślę, że w tym zadaniu nie należy korzystać, z tych kosmicznych wzorów.
Istnienie trzech różnych pierwiastków równania jest równoznaczne zdaniu, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^3-3x-m}\) przyjmuje minimum i maximum różnych znaków.
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{ x \to -\infty} f(x)=-\infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty}f(x)=\infty}\), więc funkcja musi przyjmować maksimum dodatnie i minimum ujemne.

\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-3}\)

Z powyższego widać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje w punkcie \(\displaystyle{ x=-1}\) maximum o wartości \(\displaystyle{ f(-1)=2-m}\) a w punkcie \(\displaystyle{ x=1}\) minimum o wartości \(\displaystyle{ f(1)=-2-m}\)

Aby równanie miało trzy pierwiastki musi zachodzić:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2-m>0 \\ -2-m<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m<2 \\ m>-2 \end{cases} \Rightarrow m \in \left( -2;2\right)}\)