wielomiany n-tego stopnia

[iroki]

Chciał bym się dowiedzieć jak mam obliczyć pierwiastek/pierwiastki wielomianu n-tego stopnia. Jaka jest procedura ich obliczania. Zadaje to pytanie ponieważ mam następując problem:

Mam wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ f(x) = x^{12} - x^{9} + x^{4} - x + 1}\) dla wszystkich rzeczywistych x przyjmuje wartości dodatnie.

Podszedłem do tego problemu w następujący sposób:
- obliczyłem pierwszą pochodną i przyrównałem ją do zera wyszło mi:\(\displaystyle{ f'(x) = 12x^{11} - 9x^{8} + 4x^{3} - 1 = 0}\) i teraz nie wiem jak mam sobie poradzić z wyliczeniem pierwiastka tego równania.
Proszę o pomoc.

[Qń]

Mam wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ f(x) = x^{12} - x^{9} + x^{4} - x + 1}\) dla wszystkich rzeczywistych x przyjmuje wartości dodatnie.

Dla \(\displaystyle{ x \leq 0}\) teza jest oczywista.
Jeśli \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\), to mamy: \(\displaystyle{ -x^9+x^4>0}\) i \(\displaystyle{ -x+1>0}\), więc też dostajemy tezę.
Dla \(\displaystyle{ x \geq 1}\) mamy \(\displaystyle{ x^{12}-x^9\geq 0}\) i \(\displaystyle{ x^4 -x\geq 0}\), czyli znów jest ok.

Q.

[erina]

A procedury, czyli algorytmu dla wielomianów powyżej stopnia 4 nie ma i dowiedziono, że nie będzie. Oczywiście, wielomiany wyższych stopni czasami da się rozłożyć, czy znaleźć część pierwiastków. Tylko nie ma ogólnej metody.