Podzielnosc wielomianów

[Hołek]

Witam,

Udowodnij, że jeżeli wielomian f(x) o współczynnikach całkowitych podzielimy przez unormowany wielomian g(x) o współczynnikach całkowitych, to iloraz i reszta z tego dzielenia będą wielomianami o współczynnikach całkowitych.

Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać ?

[klaustrofob]

indukcyjnie? niech k będzie stopniem dzielnika. dla k=1 teza jest prawdziwa na mocy tw. Bezouta. w dowodzie będzie ingerował algorytm dzielenia.

[Hołek]

mógłbyś to rozpisac

[klaustrofob]

spróbuję. teraz jednak widzę, że indukcja powinna iść po stopniu dzielnej (tj. wielomianu, który dzielimy). jeżeli jest to wielomian stopnia 1, to twierdzenie jest prawdziwe (jeżeli dzielnik jest topnia \(\displaystyle{ \ge 2}\) to jasne, jeżeli stopnia 1, też widać, jeżeli stopnia 0 - to jest liczbą 1 i tez widać. niech twierdzenie będzie prawdziwe dla wszystkich dzielnych stopnia \(\displaystyle{ \ge n-1}\) i niech P(x) będzie wielomianem stopnia n, a Q(x) wielomianem unormowanym. jeżeli Q ma stopień większy od stopnia P, twierdzenie jest prawdziwe. jeżeli Q ma stopień k, gdzie \(\displaystyle{ k\le n}\), to niech a będzie najstarszym wsp. wielomianu P. wielomian \(\displaystyle{ P(x)-ax^{n-k}Q(x)}\) ma wsp. całkowite i ma stopień mniejszy od stopnia wielomianu P. na mocy założenia indukcyjnego mamy: \(\displaystyle{ P(x)-ax^{n-k}Q(x)=R(x)\cdot Q(x)+S(x)}\), gdzie R i S są wielomianami o wsp. całkowitych i st(S(x))<st(Q(x)). czyli \(\displaystyle{ P(x)=ax^{n-k}Q(x)+R(x)Q(x)+S(x)=(ax^{n-k}+R(x))Q(x)+S(x)}\). na mocy jednoznaczności dzielenia z resztą wnioskujemy, że ilorazem dzielenia wielomianu P przez Q jest \(\displaystyle{ ax^{n-k}+R(x)}\) - jest to wiel. o wsp. całk, a resztą jest S(x) - też wielom. o wsp. całk.