Oblicz odwrotność sumy kwadratów...

[mixiu]

Mamy taki wielomian:

\(\displaystyle{ W(x)2x^{3}+3x^{2}-9x+10=0}\)

dzieli się on przez dwumiany: \(\displaystyle{ x+1 , x-2}\)

Pytanie brzmi:

Oblicz odwrotność sumy kwadratów pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)

No ok. Mam kozystac z wzorów Vieta na x1 + x2 + x3 = -b ? i potem odwrócić ?

czy jak? bo mam podane ze dzieli sie tylko przez te dwumiany powyzej i mi brakuje jednego x3 ?

[rodzyn7773]

Szukamy wartości wyrażenia:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} =\frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2-2x_1*x_2-2x_2*x_3-2x_1*x_3}= ...}\)
Wiem, że na sumę i poszczególne iloczyny pierwiastków są wzoru Vieta, ale mamy podane, że wielomian dzieli się przez (x+1) oraz (x-2) zatem 2 pierwiastki z trzech znamy możemy policzyć trzeci i po prostu podstawić.

[mixiu]

w jaki sposob policzyc i podstawic ? ?

[rodzyn7773]

Możesz odczytać 2 pierwiastki. Są nimi -1 i 2. Jak policzyć trzeci pierwiastek? Zapisz
\(\displaystyle{ W(x)=2(x+1)(x-2)(x-c)}\)
wtedy c będzie szukanym pierwiastkiem.

[mixiu]

Możesz odczytać 2 pierwiastki. Są nimi -1 i 2. Jak policzyć trzeci pierwiastek? Zapisz
\(\displaystyle{ W(x)=2(x+1)(x-2)(x-c)}\)
wtedy c będzie szukanym pierwiastkiem.

no ok. zapisalem i co dalej mam zrobić?

[Nakahed90]

Wymnożyć i porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach.

[mixiu]

ok no i mam cos takiego:
po wymnozeniu i ladnemu uszeregowaniu:

\(\displaystyle{ 2x^{3}-(2c+2)x^{2}+(2c+4)x+4c}\)


No to skoro mamy porównać

tooo:
\(\displaystyle{ 2c+2 = 3}\) czyli: \(\displaystyle{ c= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2c-4 = - 9}\) czyli: \(\displaystyle{ c= -2,5}\)
\(\displaystyle{ 4c = -10}\) czyli: \(\displaystyle{ c=-2,5}\)


czyli wkoncu \(\displaystyle{ c=-2,5}\) ? ? ?